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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
[mm] y'=f(y)=2\sqrt{|y-1|}
[/mm]
jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle solchen Lösungen an:
a) $y(0)=0$ und $y(1)=2$
b) $y(0)=0$ und $y(2)=2$
c) $y(0)=0$ und $y(3)=2$ |
Hi! Ich weiß leider nicht, wie man eine solche Aufgabe angeht... Das Dumme hierbei ist natürlich mal wieder, dass die Lipschitz-Steitigkeit um den Punkt 1 wegen der Wurzel flöten geht.
Ich dachte mir:
Für jedes Anfangswertproblem mit [mm] $y(t_0)=y_0$, [/mm] wobei [mm] $t_0\in\IR\setminus\{1\}$ [/mm] sei, ist die Lösung eindeutig, da in einer kleinen Umgebung um diesen Startzeitpunkt die Funktion Lipschitzstetig ist (wegen stetiger Differenzierbarkeit nach y)
Nun gilt für das AWP $y'=f(y), y(0)=0$, dass
[mm] y_l(t)=1-(1-t)^2
[/mm]
ist. Wegen der Stetigkeit kann also $y(1)=2$ nie erfüllt sein.
Das AWP $y'=f(y),y(2)=2$ liefert die Lösung
[mm] y_r(t)=(t-1)^2+1. [/mm] So dass
[mm] y(t)=\begin{cases} 1-(1-t)^2, & \mbox{für } t\leq1 \\ 1+(1-t)^2, & \mbox{für } t\geq 1 \end{cases} [/mm] eine Lösung des Randwertproblems ist. Sind das auch alle??
Beim AWP $y'=f(y), y(3)=2$ bekommt man die Lösung [mm] $y_r=(t-2)^2+1$, [/mm] so dass
[mm] y(t)=\begin{cases} 1-(1-t)^2, & \mbox{für } t\leq1 \\ 1, & \mbox{für } 1\leq t\leq 2 \\ (t-2)^2+1, & \mbox{für } t>2 \end{cases}
[/mm]
eine Lösung wäre.
Das kann doch nicht sein, dass das alle Lösungen bereits sind...
Kann mir da jemand helfen?
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Hallo Harris,
> Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
> [mm]y'=f(y)=2\sqrt{|y-1|}[/mm]
> jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen
> Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle
> solchen Lösungen an:
> a) [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y(1)=2[/mm]
> b) [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y(2)=2[/mm]
> c) [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y(3)=2[/mm]
> Hi! Ich weiß leider nicht, wie man eine solche Aufgabe
> angeht... Das Dumme hierbei ist natürlich mal wieder, dass
> die Lipschitz-Steitigkeit um den Punkt 1 wegen der Wurzel
> flöten geht.
>
> Ich dachte mir:
> Für jedes Anfangswertproblem mit [mm]y(t_0)=y_0[/mm], wobei
> [mm]t_0\in\IR\setminus\{1\}[/mm] sei, ist die Lösung eindeutig, da
> in einer kleinen Umgebung um diesen Startzeitpunkt die
> Funktion Lipschitzstetig ist (wegen stetiger
> Differenzierbarkeit nach y)
>
> Nun gilt für das AWP [mm]y'=f(y), y(0)=0[/mm], dass
> [mm]y_l(t)=1-(1-t)^2[/mm]
> ist. Wegen der Stetigkeit kann also [mm]y(1)=2[/mm] nie erfüllt
> sein.
>
> Das AWP [mm]y'=f(y),y(2)=2[/mm] liefert die Lösung
> [mm]y_r(t)=(t-1)^2+1.[/mm] So dass
> [mm]y(t)=\begin{cases} 1-(1-t)^2, & \mbox{für } t\leq1 \\ 1+(1-t)^2, & \mbox{für } t\geq 1 \end{cases}[/mm]
> eine Lösung des Randwertproblems ist. Sind das auch
> alle??
>
Ja.
> Beim AWP [mm]y'=f(y), y(3)=2[/mm] bekommt man die Lösung
> [mm]y_r=(t-2)^2+1[/mm], so dass
> [mm]y(t)=\begin{cases} 1-(1-t)^2, & \mbox{für } t\leq1 \\ 1, & \mbox{für } 1\leq t\leq 2 \\ (t-2)^2+1, & \mbox{für } t>2 \end{cases}[/mm]
>
> eine Lösung wäre.
>
> Das kann doch nicht sein, dass das alle Lösungen bereits
> sind...
>
Das sind aber alle Lösungen.
> Kann mir da jemand helfen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 01.11.2011 | | Autor: | Harris |
Aber was für eine Begründung muss man hier angeben, dass das auch wirklich alle sind?
Ich meine, Eindeutigkeitssätze kann man im Punkt 1 nicht anwenden...
Gruß, Harris
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Hallo Harris,
> Aber was für eine Begründung muss man hier angeben, dass
> das auch wirklich alle sind?
> Ich meine, Eindeutigkeitssätze kann man im Punkt 1 nicht
> anwenden...
>
Nun, wenn Du die in Frage kommenden Funktionen ausrechnest,
dann liegen die Anfangsbedingungen der Funktionen, die Du für [mm]x \ge 1[/mm] erhältst (bis auf die angegebenen Lösungen), vor demjenigen x für das diese Funktion den Wert 1 annimmt oder diese Funktionen nehmen an der Stelle 1 einen anderen Wert als 1 ein.
> Gruß, Harris
Gruss
MathePower
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