Randwertprobleme < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Mi 24.10.2007 | | Autor: | sirtobi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die im Quadrat D = [mm] (0,\pi) [/mm] x [mm] (0,\pi) [/mm] zweimal stetige diffbare Funktionen [mm] u(x_1,x_2) [/mm] für die [mm] \Delta u(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \partial^2u/\partial x_1^2 (x_1,x_2) [/mm] + [mm] \partial^2 u/\partial x_2^2(x_1,x_2) [/mm] = 0 mit [mm] (x_1,x_2) \in [/mm] D gilt und die folgende Randbedingungen erfüllen:
(a) [mm] u(x_1,0) [/mm] = [mm] \mu_1(x_1) [/mm] , [mm] u(x_1,\pi) [/mm] = [mm] \mu_2(x_1),
[/mm]
[mm] u(0,x_2) [/mm] = c, [mm] u(\pi,x_2) [/mm] = c
(b) [mm] u(x_1,0) [/mm] = [mm] \mu_1(x_1), u(x_1,\pi) [/mm] = c,
[mm] u(0,x_2) [/mm] = [mm] \mu_2(x_2), u(\pi,x_2) [/mm] = c
(c) [mm] \partial u/\partial x_2(x_1,0) [/mm] = c, [mm] \partial u/\partial x_2(x_1,\pi) [/mm] = c
[mm] u(0,x_2) [/mm] = 0, [mm] u(\pi,x_2) [/mm] = [mm] \mu(x_2) [/mm] |
Hallo,
kennt jemand von Euch eine Seite, in der es Lösungsansätze für derartige Randwertprobleme erklärt sind?
Möchte die Aufgaben selber lösen, habe nur leider die nötigen Unterlagen dafür nicht gegeben.
Stichworte sind Separationsansatz und Fourierreihen-Entwicklung.
Danke Euch,
Sirtobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie die im Quadrat D = [mm](0,\pi)[/mm] x [mm](0,\pi)[/mm] zweimal
> stetige diffbare Funktionen [mm]u(x_1,x_2)[/mm] für die [mm]\Delta u(x_1,x_2)[/mm]
> = [mm]\partial^2u/\partial x_1^2 (x_1,x_2)[/mm] + [mm]\partial^2 u/\partial x_2^2(x_1,x_2)[/mm]
> = 0 mit [mm](x_1,x_2) \in[/mm] D gilt und die folgende
> Randbedingungen erfüllen:
> (a) [mm]u(x_1,0)[/mm] = [mm]\mu_1(x_1)[/mm] , [mm]u(x_1,\pi)[/mm] = [mm]\mu_2(x_1),[/mm]
> [mm]u(0,x_2)[/mm] = c, [mm]u(\pi,x_2)[/mm] = c
>
> (b) [mm]u(x_1,0)[/mm] = [mm]\mu_1(x_1), u(x_1,\pi)[/mm] = c,
> [mm]u(0,x_2)[/mm] = [mm]\mu_2(x_2), u(\pi,x_2)[/mm] = c
>
> (c) [mm]\partial u/\partial x_2(x_1,0)[/mm] = c, [mm]\partial u/\partial x_2(x_1,\pi)[/mm]
> = c
> [mm]u(0,x_2)[/mm] = 0, [mm]u(\pi,x_2)[/mm] = [mm]\mu(x_2)[/mm]
> Hallo,
>
> kennt jemand von Euch eine Seite, in der es Lösungsansätze
> für derartige Randwertprobleme erklärt sind?
> Möchte die Aufgaben selber lösen, habe nur leider die
> nötigen Unterlagen dafür nicht gegeben.
> Stichworte sind Separationsansatz und
> Fourierreihen-Entwicklung.
Separationsansatz:
Dazu nimmt man an, dass die Funktion [mm]u(x_1,x_2)[/mm] sich in zwei Funktionen [mm]u_1(x_1)[/mm] und [mm]u_2(x_2)[/mm] zerlegen lässt, von denen jede nur von einer Variablen abhängt. Wie die Zerlegung genau aussieht, hängt vom Problem ab.
Im vorliegenden Fall würde ich [mm]u(x_1,x_2)=u_1(x_1)+u_2(x_2)[/mm] oder [mm]u(x_1,x_2)=u_1(x_1)*u_2(x_2)[/mm] ansetzen. Der Trick ist dann, die entstehende Gleichung so umzuformen, dass links vom Gleichheitszeichens nur Terme mit [mm]x_1[/mm] stehen, und rechts nur Terme mit [mm]x_2[/mm]. Dann muss jede Seite für sich konstant sein.
Beispiel: [mm]u(x_1,x_2)=u_1(x_1)+u_2(x_2)[/mm]
Die partielle DGL wird dann zu: [mm]u''_1(x_1) + u''_2(x_2) = 0[/mm] oder [mm]u''_1(x_1) = -u''_2(x_2)[/mm].
Wenn du hier [mm]x_1[/mm] festhälst, ist die linke Seite konstant. Daher muss auch die rechte Seite für alle [mm]x_2[/mm] denselben Wert ergeben.
Du hast also:
[mm]u''_1(x_1) = K[/mm]
[mm]u''_2(x_2) = -K [/mm]
Dabei ist K eine zunächst noch nicht bestimmte Konstante, die sich aus den Randbedingungen ergibt.
Wenn du dir die drei Teilaufgaben anschaust, siehst du allerdings, dass du mit diesem Ansatz die Randbedingungen nicht erfüllen kannst. Daher solltest du besser den Produktansatz [mm]u(x_1,x_2)=u_1(x_1)*u_2(x_2)[/mm] verwenden, woraus du wieder zwei getrennten gewöhnliche DGLen für [mm]u_1(x_1)[/mm] und [mm]u_2(x_2)[/mm] erhältst.
Viele Grüße
Rainer
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Bestimmen Sie die im Quadrat D = [mm](0,\pi)[/mm] x [mm](0,\pi)[/mm] zweimal
> stetige diffbare Funktionen [mm]u(x_1,x_2)[/mm] für die [mm]\Delta u(x_1,x_2)[/mm]
> = [mm]\partial^2u/\partial x_1^2 (x_1,x_2)[/mm] + [mm]\partial^2 u/\partial x_2^2(x_1,x_2)[/mm]
> = 0 mit [mm](x_1,x_2) \in[/mm] D gilt und die folgende
> Randbedingungen erfüllen:
> (a) [mm]u(x_1,0)[/mm] = [mm]\mu_1(x_1)[/mm] , [mm]u(x_1,\pi)[/mm] = [mm]\mu_2(x_1),[/mm]
> [mm]u(0,x_2)[/mm] = c, [mm]u(\pi,x_2)[/mm] = c
>
> (b) [mm]u(x_1,0)[/mm] = [mm]\mu_1(x_1), u(x_1,\pi)[/mm] = c,
> [mm]u(0,x_2)[/mm] = [mm]\mu_2(x_2), u(\pi,x_2)[/mm] = c
>
> (c) [mm]\partial u/\partial x_2(x_1,0)[/mm] = c, [mm]\partial u/\partial x_2(x_1,\pi)[/mm]
> = c
> [mm]u(0,x_2)[/mm] = 0, [mm]u(\pi,x_2)[/mm] = [mm]\mu(x_2)[/mm]
> Hallo,
>
> kennt jemand von Euch eine Seite, in der es Lösungsansätze
> für derartige Randwertprobleme erklärt sind?
> Möchte die Aufgaben selber lösen, habe nur leider die
> nötigen Unterlagen dafür nicht gegeben.
> Stichworte sind Separationsansatz und
> Fourierreihen-Entwicklung.
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> Danke Euch,
> Sirtobias
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
wie von rainer schon gesagt, nimm den ansatz
$u(x,y)=f(x)g(y)$
die laplace-gleichung ist dann
[mm] $\Delta [/mm] u(x)=f''(x)g(y)+f(x)g''(y)=0$
durch umstellen erhaeltst du
[mm] $\frac{f''(x)}{f(x)}=-\frac{g''(y)}{g(y)}=\lambda$
[/mm]
f und g muessen also gewisse eigenfunktionen des 1-dim. laplace operators sein. Fuer einfache (konstante) randwerte bist du dann schon fast fertig. Fuer variable randwerte musst du diese in fourierreihen entwickeln und dann koeffizientenvergleich machen (oder so aehnlich...).
Habe leider keine gute erklaerung im netz gefunden, aber wenn du noch mal intensiv googlest ('laplace gleichung separation variablen'), solltest du mit etwas geduld was finden...
gruss
matthias
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