Randwertproblem, Zwei Platten < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Anordnung bestehend aus zwei leitfähigen Platten, welche sich im Abstand 2a voneinander befinden und leitend miteinander verbunden sind. Die leitfähigen Platten besitzen das Potential [mm] (\Phi=0). [/mm] Die Platten können als unendlich ausgedehnt in x- und z- Richtung in einem kartesischen Koordinatensystem angenommen werden. Zwischen den Platten befindet sich eine Raumladungsverteilung, welche durch den Ausdruck [mm] \rho(\vec{r})=\rho_{0}cos(\beta{x}) [/mm] mit [mm] \beta=2\pi/l [/mm] definiert sei. Die gesamte Anordnung befinde sich in einem Raum mit der konstanten Permittivität [mm] \epsilon=\epsilon_{0}.
[/mm]
a) Leiten Sie aus dem MAXWELLgleichungen die POISSONgleichung für das Potential [mm] \Phi [/mm] her und notieren Sie die Randbedingungen für [mm] \Phi.
[/mm]
Diese inhomogene Differentialgleichung soll im Folgenden durch Aufspaltung in eine partikulare Lösung [mm] \Phi_{p} [/mm] und eine homogene Lösung [mm] \Phi_{h} [/mm] gelöst werden: [mm] \Phi=\Phi_{p}+\Phi_{h}
[/mm]
b) Bestimmen Sie durch Vereinfachung und doppelte Integration eine partikulare Lösung [mm] \Phi_{p}.
[/mm]
Bemerkung: Diese partikulare Lösung muss nicht die Randbedingungen des Problems erfüllen, sondern nur eine beliebige Lösung der inhomogenen POISSONgleichung sein. |
Hallo E-Techniker, hallo Mathematiker!
Ich habe das folgende Anliegen:
Zu a) Man erhält die POISSONgleichung zu
[mm] \Delta\Phi(\vec{r}):=-\bruch{\rho(\vec{r})}{\epsilon_{0}} [/mm] und für die Randbedingungen des Potentials
[mm] \Phi(y=\pm{a})=0
[/mm]
Zu b) Laut Musterlösung hat man:
[mm] \Delta\Phi_{p}:=-\bruch{\rho(\vec{r})}{\epsilon_{0}}=-\bruch{\rho_{0}cos(\beta x)}{\epsilon_{0}}
[/mm]
Wenn [mm] \bruch{\partial^{2}\Phi_{p}}{\partial y^{2}}=0 [/mm] gewählt wird, kann [mm] \Phi_{p} [/mm] durch doppelte Integration gelöst werden:
(1) [mm] \bruch{\partial^{2}\Phi_{p}}{\partial{x}^{2}}=-\bruch{\rho_{0}cos\beta{x})}{\epsilon_{0}}
[/mm]
Da [mm] \Phi_{p} [/mm] beliebig gewählt werden kann, werden die Integrationskonstanten zu null gesetzt:
[mm] \Phi_{p}=-\bruch{\rho_{0}cos\beta{x})}{\beta^{2}\epsilon_{0}}
[/mm]
Meine Fragen:
1.) Ich würde gerne wissen, wieso man hier ausgerechnet [mm] \bruch{\partial^{2}\Phi_{p}}{\partial y^{2}}=0 [/mm] setzt, bwz. setzen darf und wie man dann auf Gleichung (1) kommt.
2.) Wie geht man generell bei der Ermittlung einer partikulären Lösung vor?
Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Interesse besteht nach wie vor, vielen Dank!
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