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| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Randwertaufgaben:
a) [mm] $u''+t^2=0, \quad u(0)=0,\quad [/mm] u'(1)=1$
b) [mm] $u''-u'-2u=0,\quad u(0)+u'(0)=1,\quad [/mm] u(1)=0$ |
Guten Abend,
ich sitze gerad an diese Aufgabe und weiß nicht wie anfangen.
Mir würde es sehr helfen, wenn mir jemand einen Tipp gibt, eventuell einen Satz, mit dem ich das lösen kann oder ähnliches.
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Di 04.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erste Aufgabe ' einfach 2 mal integrieren, die Konstanten dabei nicht vergessen, dann die Randbed. einsetzen um die 2 konstanten zu bestimmen-
die 2 te Aufgabe mit dem Ansatz [mm] u=e^{\lambda*t} [/mm] lösen
die 2 [mm] \lambda [/mm] bestimmen [mm] u=C_1e^{\lambda_1*t}+C2*e^{\lambda_2*t}
[/mm]
und wieder die 2 Lonstanten bestimmen
Gruss leduart
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Hallo leduart,
vielen vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe direkt versucht deine Tipps umzusetzen:
Also für die a):
[mm] $u''(t)=-t^2$
[/mm]
[mm] $\int{u''(t)\;dt}=-\frac{1}{3}t^3+C_1=u'(t)$
[/mm]
[mm] $\int{u'(t)\;dt}=-\frac{1}{12}t^4+C_1*t+C_2$
[/mm]
Mit den Bedingungen:
[mm] $u'(1)=-\frac{1}{3}+C_1=0 \Leftrightarrow C_1=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $u(0)=C_2=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u(t)=-\frac{1}{12}*t^4+\frac{1}{3}*t$
[/mm]
Und für die b):
Mit dem Ansatz [mm] $u(t)=e^{\lambda*t}$:
[/mm]
[mm] $u'(t)=\lambda*e^{\lambda*t}$
[/mm]
[mm] $u''(t)=\lambda^2*e^{\lambda*t}$
[/mm]
[mm] $u''(t)-u'(t)-2*u(t)=(\lambda^2-\lambda-2)*e^{\lambda*t}=0\Leftrightarrow (\lambda^2-\lambda-2)=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda_1=-1,\; \lambda_2=2$
[/mm]
Somit erhalten wir die Allgemeine Lösung:
[mm] $u(t)=C_1*e^{-t}+C_2*e^{2*t}$
[/mm]
Mit den Bedingungen:
[mm] $u(0)+u'(0)=3C_2=1\Leftrightarrow C_2=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $u(1)=C_1*e^{-1}+\frac{1}{3}*e^2=0\Leftrightarrow C_1=-\frac{1}{3}*e^3$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u(t)=\frac{1}{3}*e^{2*t}-\frac{1}{3}*e^{3-t}$
[/mm]
Ist das in Ordnung so?
Ist das dann komplett?
Scheint mir fast etwas einfach ;)
Und irgendwelche Eigenschaften, dass das Anwenden dieser Methoden erlaubt muss ich auch nicht nachweisen?
Vielen vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
>
> vielen vielen Dank für deine Antwort.
> Ich habe direkt versucht deine Tipps umzusetzen:
>
> Also für die a):
> [mm]u''(t)=-t^2[/mm]
> [mm]\int{u''(t)\;dt}=-\frac{1}{3}t^3+C_1=u'(t)[/mm]
> [mm]\int{u'(t)\;dt}=-\frac{1}{12}t^4+C_1*t+C_2[/mm]
> Mit den Bedingungen:
> [mm]u'(1)=-\frac{1}{3}+C_1=0 \Leftrightarrow C_1=\frac{1}{3}[/mm]
>
> [mm]u(0)=C_2=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow u(t)=-\frac{1}{12}*t^4+\frac{1}{3}*t[/mm]
>
> Und für die b):
>
> Mit dem Ansatz [mm]u(t)=e^{\lambda*t}[/mm]:
> [mm]u'(t)=\lambda*e^{\lambda*t}[/mm]
> [mm]u''(t)=\lambda^2*e^{\lambda*t}[/mm]
>
> [mm]u''(t)-u'(t)-2*u(t)=(\lambda^2-\lambda-2)*e^{\lambda*t}=0\Leftrightarrow (\lambda^2-\lambda-2)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=-1,\; \lambda_2=2[/mm]
> Somit erhalten wir
> die Allgemeine Lösung:
> [mm]u(t)=C_1*e^{-t}+C_2*e^{2*t}[/mm]
> Mit den Bedingungen:
> [mm]u(0)+u'(0)=3C_2=1\Leftrightarrow C_2=\frac{1}{3}[/mm]
>
> [mm]u(1)=C_1*e^{-1}+\frac{1}{3}*e^2=0\Leftrightarrow C_1=-\frac{1}{3}*e^3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u(t)=\frac{1}{3}*e^{2*t}-\frac{1}{3}*e^{3-t}[/mm]
>
> Ist das in Ordnung so?
Ja
>
> Ist das dann komplett?
Ja
> Scheint mir fast etwas einfach ;)
> Und irgendwelche Eigenschaften, dass das Anwenden dieser
> Methoden erlaubt muss ich auch nicht nachweisen?
Hattet Ihr denn diese Methoden nicht behandelt ?
FRED
>
> Vielen vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> Dudi
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