Randwertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | (a) Für welche Werte von [mm] $\lambda$ [/mm] gibt es mindestens eine stetige Funktion [mm] $\phi [/mm] : [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] die in $(0,1)$ differenzierbar ist und die folgende Randwertaufgabe löst: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\phi''(x) [/mm] = [mm] \lambda\phi(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$, [mm] \\
[/mm]
[mm] $\phi(0) [/mm] = 0$, [mm] \quad $\phi(1) [/mm] = 1$. [mm] \\
[/mm]
(b) Für welche Werte von [mm] $\lambda$ [/mm] gibt es mehr als eine stetige Funktion [mm] $\phi [/mm] : [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] die in $(0,1)$ differenzierbar ist und die folgende Randwertaufgabe löst: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\phi''(x) [/mm] = [mm] \lambda\phi(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$, [mm] \\
[/mm]
[mm] $\phi(0) [/mm] = 0$, [mm] \quad $\phi(1) [/mm] = 0$. [mm] \\
[/mm]
Tipp: Starte mit $y'' = [mm] \lambda [/mm] y$. |
Wie fange ich hier an, kann die anderen Beispielaufgaben, die ich mir angeguckt habe, da absolut nicht drauf anwenden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nich einfach die lineare homogene Dgl lösen, und fesstellen für welche [mm] \lambda [/mm] du die randbedingungen erfüllen kannst?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
[mm] $\phi'' [/mm] = [mm] \lambda \phi$ \\
[/mm]
Homogene Differentialgleichung lautet: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\phi'' [/mm] - [mm] \lambda \phi [/mm] = 0$ [mm] \\
[/mm]
Exponentialansatz: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{\omega t}, \quad y'=\omega e^{\omega t}, \quad y''=\omega^{2} e^{\omega t}$ \\
[/mm]
[mm] $\omega^{2}e^{\omega t} [/mm] - [mm] \lambda e^{\omega t} [/mm] = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $e^{\omega t}(\omega^{2}-\lambda) [/mm] = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\omega^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\omega^{2} [/mm] = [mm] \lambda$ \\
[/mm]
[mm] $\omega [/mm] = [mm] \pm \sqrt{\lambda}$ \\
[/mm]
Das ergibt die allgemeine Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\phi [/mm] = [mm] c_{1}e^{\sqrt{\lambda}x}+c_{2}e^{-\sqrt{\lambda} x}$ \\
[/mm]
Hm, aber da muss doch noch das [mm] $\lambda$ [/mm] irgendwohin, oder?
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Hallo ggT,
> [mm]\phi'' = \lambda \phi[/mm] [mm]\\[/mm]
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> Homogene Differentialgleichung lautet: [mm]\\[/mm]
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> [mm]\phi'' - \lambda \phi = 0[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> Exponentialansatz: [mm]\\[/mm]
> [mm]y = e^{\omega t}, \quad y'=\omega e^{\omega t}, \quad y''=\omega^{2} e^{\omega t}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\omega^{2}e^{\omega t} - \lambda e^{\omega t} = 0[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]e^{\omega t}(\omega^{2}-\lambda) = 0[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\omega^{2} - \lambda = 0[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\omega^{2} = \lambda[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\omega = \pm \sqrt{\lambda}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> Das ergibt die allgemeine Differentialgleichung: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\phi = c_{1}e^{\sqrt{\lambda}x}+c_{2}e^{-\sqrt{\lambda} x}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> Hm, aber da muss doch noch das [mm]\lambda[/mm] irgendwohin, oder?
Das ist die Lösung für [mm]\lambda > 0[/mm].
Gruss
MathePower
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