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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Ein Betrunkener bewegt sich auf einer geraden Linie in jeder Minute um genau eine Meter nach Norden oder nach Süden. In welche Richtung er sich bewegt, ist vom Zufall abhängig. Die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse "er bewegt sich in der n-ten Minute einen Meter nach Norden" und "...Süden" haben für jedes n [mm] \in [/mm] IN die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrunkene nach 2m (m [mm] \in [/mm] IN) Minuten wieder an seinem Ausgangspunktsteht?
(Tipp: Wie viele Pfade mit 2m Schritten gibt es? Welche Bedingung an die Anzahl der Nord- bzw. Südschritte braucht man, um wieder nach 0 zu kommen?)
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Hallo!
Wir wissen nicht wirklich, wie man bei der Aufgabe vorgehen muss.
Die Bedingung ist ja klar - es müssen gleichviele Nord- bzw Südschritte sein. Für die Anzahl der Pfade: Wir haben eine Beispielzeichnung mit 16 Schritten. Dann gibt es ja einmal 16 Schritte (8N und 8S), 2mal einen Pfad mit 8 Schritten (4N und 4S), 4 Pfade mit 4 Schritten (2N und 2S) und 8 Pfade mit 2 Schritten (1N und 1S). Aber wie muss ich jetzt weitermachen? Unser Tutor meinte irgendwas von "warum sind alle Pfade gleichwahrscheinlich?" und "wie viele günstige Schritte gibt es?". Damit können wir nur leider nichts anfangen.
Kann uns jemand erklären, wie man hier vorgeht?
Vielen Dank schonmal!
LG
Lee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mi 01.11.2006 | | Autor: | DirkG |
Von den $2m$ Schritten führen genau $m$ nach Norden. Aber an welchen Zeitpunkten von 1 bis $2m$ diese $m$ Schritte durchgeführt werden, ist völlig frei.
Das ist also eine Auswahlgeschichte, von $m$ Zeitpunkten aus $2m$ in Frage kommenden Zeitpunkten...
Oder alternativ, falls du schon mal was von Binomialverteilung gehört hast: Die Anzahl $N$ der Nordschritte ist binomialverteilt [mm] $N\sim B\left( 2m,\frac{1}{2}\right)$.
[/mm]
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