Randbedingungen bei Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzbereich. Untersuchen sie die Konvergenz in den Randpunkten:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm] |
Also den Konvergenzradius kann man ganz einfach bestimmen mit Hilfe der allgemeine Formel lim [mm] \bruch{ak}{ak+1} [/mm] , denn habe ich auch berechnet und ein erhalten....
so nun wollte ich die Randbedingung 1 und -1 testen, im ersten fall ist dass dann ja [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] und im zweiten fall mit dem vozeichen minus, da die hochztahl immer eine ungerade zahl liefert und -1 so immer erhalten bleibt...
nun wollte ich ganz einfach mit qoutientenkr. die randbedingenung zeigen.....da erhalte ich 1....super geht nicht....
also bin ich mit hilfe des majorantensatzes ran gegangen, allerdings erhalte ich dann keine abschötzung die geignet ist
einmal erhalte ich [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] , allerdings bringt mir das nix, da ich so nix nachweissen kann, ich weiss zwar das 1 durch 2n divergiert, aber das nützt mir her doch nix??
also bin ich so dran gegangen
[mm] \bruch{1}{2n+1} \le \bruch{1}{2n+n} [/mm] allerding geht n von null bis unendlich, also nütz mir das doch auch nix, oder ????
hat jemand ein sinnvollen tipp??
wäre sehr dankbar:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bonanza123,
> Bestimmen sie den Konvergenzbereich. Untersuchen sie die
> Konvergenz in den Randpunkten:
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> Also den
> Konvergenzradius kann man ganz einfach bestimmen mit Hilfe
> der allgemeine Formel lim [mm]\bruch{ak}{ak+1}[/mm] , denn habe ich
> auch berechnet und [mm] \red{1} [/mm] erhalten.... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du musst ein bisschen aufpassen mit dieser Formel, dass du nicht durch 0 teilst ...
Lieber das Krotierum von Cauchy-Hadamard verwenden
>
> so nun wollte ich die Randbedingung 1 und -1 testen, im
> ersten fall ist dass dann ja [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm] und im zweiten
> fall mit dem vozeichen minus, da die hochztahl immer eine
> ungerade zahl liefert und -1 so immer erhalten bleibt...
>
> nun wollte ich ganz einfach mit qoutientenkr. die
> randbedingenung zeigen.....da erhalte ich 1....super geht
> nicht....
Ja, Mist 
>
> also bin ich mit hilfe des majorantensatzes ran gegangen,
> allerdings erhalte ich dann keine abschötzung die geignet
> ist
>
> einmal erhalte ich [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] ,
> allerdings bringt mir das nix, da ich so nix nachweissen
> kann, ich weiss zwar das 1 durch 2n divergiert, aber das
> nützt mir her doch nix??
Nee, du musst schon eine divergente Minorante, also eine divergente kleinere Reihe finden
>
> also bin ich so dran gegangen
>
> [mm] $\bruch{1}{2n+1} \red{\ge} \bruch{1}{2n+n}$
[/mm]
hier hast du das falsche Ungleichheitszeichen, du hast doch die Reihe verkleinert (Nenner vergrößert)
> allerding geht n von null bis unendlich, also nütz mir das doch auch nix, oder ????
Doch, das ist genau richtig!
Die Abschätzung gilt dann halt nur für [mm] n\ge [/mm] 1
Aber es ändert doch nichts am Konvergenz- (bzw. Divergenzverhalten) einer Reihe, wenn du endlich viele Summanden weglässt, denn eine Summe mit endlich vielen Summanden ist immer endlich.
Die "beißt" also nicht!
Hier hast du gar nur einen Summanden, nämlich den für $n=0$, das ist 1
Du kannst ja [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$ [/mm] schreiben als [mm] $1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}$ [/mm] und machst dann die Abschätzung für die indexverschobene Reihe, da passt es dann.
Und die +1 ändert an der Divergenz nix
>
> hat jemand ein sinnvollen tipp??
Das war schon sehr gut und sagt uns, dass die Reihe für x=1 divergiert.
Nun fehlt noch die Untersuchung für x=-1
>
> wäre sehr dankbar:)
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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ahh oki danke:)....manchmal ist man wenig blind
aber mein ungleichheitszeichen ist doch richtig?
hast dich viellciht verschaut....sonst muss ich leider nochmal in die grundschule:(
muss ich um mathematisch korrekt zu sein, dass nochmal
so detahiert aufschreiben, das ich die eins vors summenzeichen ziehe
oder kann ich das direkt weg lassen?
Cauchy-Hadamard....schön, hatten wir nicht, dürfen wir dann auch nicht verwenden, weil mathematisch nicht bewiesen...hmmmm
für x = -1
leibnitz geht nicht weil keine alternierende reihe,
qoutentenkr. geht auch nicht, da wieder eins....füht nicht zum ergebniss.....doooof
kann ich mit den beträgen arbeiten und sagen, weil das gleich dem vorher bewissen ist ist sie auch divergent???
gibs da eine rechenregel habe keine gefunden??
steht auf dem schlauch!! Tipp Bitte :):)
mfg bonanza
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Hallo nochmal,
> ahh oki danke:)....manchmal ist man wenig blind
>
> aber mein ungleichheitszeichen ist doch richtig?
> hast dich viellciht verschaut....sonst muss ich leider
> nochmal in die grundschule:(
Hmmm, du hast doch den Nenner vergrößert, machen wir ein Bsp.
[mm] $\frac{1}{2} [/mm] \ \ \ \ [mm] \frac{1}{2\red{+1}}=\frac{1}{3}$
[/mm]
Welches Ungleichheitszeichen gehört dazwischen?
>
> muss ich um mathematisch korrekt zu sein, dass nochmal
> so detahiert aufschreiben, das ich die eins vors
> summenzeichen ziehe
> oder kann ich das direkt weg lassen?
Meinst du das mit dem Rausziehen der 1 und dann die Reihe bei n=1 beginnen lassen?
Das wäre formal am genauesten, würde ich meinen
>
> Cauchy-Hadamard....schön, hatten wir nicht, dürfen wir dann
> auch nicht verwenden, weil mathematisch nicht
> bewiesen...hmmmm
Dann nimm's lieber nicht
>
> für x = -1
> leibnitz geht nicht weil keine alternierende reihe,
> qoutentenkr. geht auch nicht, da wieder eins....füht nicht
> zum ergebniss.....doooof
>
> kann ich mit den beträgen arbeiten und sagen, weil das
> gleich dem vorher bewissen ist ist sie auch divergent???
> gibs da eine rechenregel habe keine gefunden??
Denke einfacher, klammere $(-1)$ aus und ziehe es aus der Reihe raus, was bleibt dann?
>
> steht auf dem schlauch!! Tipp Bitte :):)
$(-1)$ ausklammern und rausziehen ... und vor die Stirn patschen
>
> mfg bonanza
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mo 26.01.2009 | | Autor: | bonanza123 |
aua....ja stimmt^^............*klatsch*
oki dann ist 1/2 grösser als 1/3
und somit ist
1/(2n+1) >= 1/(2n+1)
1/(2n+n) <= 1/(2n+1)
so richtig??
mfg Bonanza
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Hallo nochmal,
> aua....ja stimmt^^............*klatsch*
>
> oki dann ist 1/2 grösser als 1/3
>
> und somit ist
>
> 1/(2n+1) >= 1/(2n+1)
Das ist sogar gleich!
> 1/(2n+n) <= 1/(2n+1)
Genau das brauchst du!
Damit ist [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1} [/mm] \ > \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+n} [/mm] \ = \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n} [/mm] \ = \ [mm] 1+\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Damit hast du deine divergente Minorante, deine Ausgangsreihe ist also divergent (für x=1)
Wie sieht's konkret für x=-1 aus?
>
> so richtig??
Ja, aber weiter ....
>
> mfg Bonanza
LG
schachuzipus
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Damit ist [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{2n+1} [/mm] \ > \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{2n} [/mm] \ = \ [mm] 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{2n} [/mm] \ = \ [mm] 1-\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Sooo??
also ich bin mir zu 99% sicher :)
mfg bonanza
und danke für die hilfe
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[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] 1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1} [/mm] \ > \ [mm] 1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} [/mm] \ = \ [mm] 1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} [/mm] \ = \ [mm] 1-\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
so gefällt es mir besser oder ???
ich wusste nicht wie ich editieren kaann sry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{2n+1} \ = \ \red{1}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1} \ > \ \red{1}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} \ = \ \red{1}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} \ = \ \red{1}-\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
>
> so gefällt es mir besser oder ???
also in Wahrheit sieht das so aus:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}=-1-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1} [/mm] > -1- [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}=-1-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Leider bringt Dir das nichts, denn überlege mal, was die Bedeutung der obigen Rechnung wäre:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}$$ [/mm] ist offensichtlich eine monoton fallende Reihe, und Du schätzt sie nach unten gegen [mm] $\;-\;\infty$ [/mm] ab. Nicht sonderlich hilfreich
(So würde Deine Abschätzung analog ergeben:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} [/mm] < [mm] 1+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\,,$$
[/mm]
d.h. Du hättest [mm] $\infty$ [/mm] als obere Schranke für die monoton wachsende Folge der Teilsummen [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}:\equiv\left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}\right)_{n \in \IN_0}$. [/mm] Die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] wäre also monoton wachsend und nach oben durch [mm] $+\infty \notin \IR$ [/mm] beschränkt. Das ist nicht besonders hilfreich, um eine Konvergenzaussage für [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] zu treffen.)
> ich wusste nicht wie ich editieren kaann sry
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Zurück zur Aufgabe:
Wie geht's richtig? Z.B. so:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}=-\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} [/mm] < [mm] -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+2}=-\frac{1}{2}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m}\,.$$
[/mm]
Alternative:
Man argumentiert einfach so:
Es ist die Frage, ob der Reihenwert [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}=- \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1}$ [/mm] existiert. Dieser existiert genau dann, wenn
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1}$$
[/mm]
existiert. Es gilt aber
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} [/mm] > [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m}\,,$$
[/mm]
(formal wäre es sogar besser, anstelle von [mm] $\infty$ [/mm] erstmal [mm] $\,N\,\;(\in \IN_0)$ [/mm] zu schreiben und dann $N [mm] \to \infty$ [/mm] laufen zu lassen!)
woraus folgt, dass der fragliche Reihenwert (in [mm] $\IR$) [/mm] nicht existiert. (Man könnte auch [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}=-\infty$ [/mm] schreiben, was so zu interpretieren ist, dass die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert.)
Wenn Du mit [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{2n+1}$ [/mm] arbeiten willst, müßtest Du das ![[]](/images/popup.gif) Majorantenkriterium (Wiki) in einer anderen Version verwenden. Denn in dieser Formulierung, wie sie z.B. bei Wiki steht, stehen bei der "divergenten Minorante" Voraussetzungen an die [mm] $a_n\,,$ [/mm] dass diese nichtnegativ sein sollen. Aber schau' einfach auch mal in den Beweis des Majoranten/Minorantenkriterium (aus folgendem Skript!), dann erkennt man, dass dort prinzipiell fast nur der Hauptsatz für monotone Folgen Einzug erhält (vgl. Satz 6.15 + Beweis in diesem Skript) und weiß dann auch, wie man dieses Kriterium für Reihen mit nichtpositiven reellen Summanden zu formulieren hätte.
Aber selbstverständlich kannst Du das nun umgehen, indem Du auf obige Alternative zurückgreifst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Damit ist [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{2n+1} \ = \ 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{2n+1} \ > \ 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{2n} \ = \ 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{2n} \ = \ 1-\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
>
> Sooo??
>
> also ich bin mir zu 99% sicher :)
die Abschätzung ist fast richtig, aber leider liefert sie keine Aussage, ob Deine Reihe nun konvergiert oder divergiert. Siehe hier.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo bonanza123,
>
> > Bestimmen sie den Konvergenzbereich. Untersuchen sie die
> > Konvergenz in den Randpunkten:
> >
> > a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> > Also
> den
> > Konvergenzradius kann man ganz einfach bestimmen mit Hilfe
> > der allgemeine Formel lim [mm]\bruch{ak}{ak+1}[/mm] , denn habe ich
> > auch berechnet und [mm]\red{1}[/mm] erhalten....
>
> Du musst ein bisschen aufpassen mit dieser Formel, dass du
> nicht durch 0 teilst ...
nur als Hinweis: Um derartiges zu vermeiden, könnte bonanza123 z.B. [mm] $y\,:=\;x^2$ [/mm] setzen. Dann gilt
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}=x*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x^{2})^n}{2n+1}=x*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{y^n}{2n+1}\,.[/mm]
Bzgl. [mm] $y=x^2$ [/mm] läßt sich der Konvergenzradius der letztstehenden Potenzreihe berechnen (mit dem Quotienten), woraus man auf den der Potenzreihe in [mm] $\,x\,$ [/mm] schließen kann.
Das nur zur Ergänzung, weil ich vorhin gesehen habe, dass anscheinend nur die "Quotientenformel für den Konvergenzradius" benutzt werden darf.
Alternativ:
Dass man Cauchy-Hadamard nicht benutzen darf, stimmt eigtl. auch nur, wenn das Wurzelkriterium nicht bekannt ist. Die Berechnung des Konvergenzradius mit Cauchy-Hadamard ist ja im Prinzip nichts anderes als das Wurzelkriterium angewendet auf eine Potenzreihe.
Gruß,
Marcel
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