Rand einer Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Hazzar |
| Aufgabe | Geben Sie den Rand der folgenden Menge an:
[mm] \{(x,y) \in \IR^2 : x^3 y^2 = \pi \} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann es sein, dass der Rand dieser Menge gerade die Menge selbst ist? Denn diese Menge enthält ja eigentlich nur Punkte einer stetigen Kurve.
Währe das dann auch eine Begründung dafür, dass die Menge abgeschlossen ist?
Grüße,
Hazzar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mo 06.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Hazzar!
> Geben Sie den Rand der folgenden Menge an:
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^3 y^2 = \pi \}[/mm]
>
> Kann es sein, dass der Rand dieser Menge gerade die Menge
> selbst ist? Denn diese Menge enthält ja eigentlich nur
> Punkte einer stetigen Kurve.
> Währe das dann auch eine Begründung dafür, dass die Menge
> abgeschlossen ist?
Das haengt alles stark davon ab, wieviel du ueber Stetigkeit und offene und abgeschlossene Mengen weisst.
Du kannst diese Menge als das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion auffassen; das sagt dir dann etwas darueber aus, ob die Menge abgeschlossen ist.
Jetzt zum Rand. Wenn die Menge abgeschlossen waere, waer der Rand ja eine Teilmenge von ihr. Wenn du jetzt noch wuesstest, dass die Menge keine inneren Punkte hat, dann ist sie gleich ihrem Rand und du bist fertig.
Mal angenommen sie hat einen inneren Punkt. Dann muss die Menge ja eine ganze Kreisscheibe beinhalten, insbesondere gibt es zu einem Punkt $(x, y)$ auch zwei weitere weiteren Punkte $(x, y')$, $(x, y'')$ mit $y [mm] \neq [/mm] y' [mm] \neq [/mm] y'' [mm] \neq [/mm] y$, aber mit selber $x$-Koordinate (du kannst in der Kreisscheibe einen Punkt ueber dem Mittelpunkt und einen unter dem Mittelpunkt waehlen). Kann das hier der Fall sein?
LG Felix
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