Raketengleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Leite die Raketengleichung her!
[mm]v(t)=v_A*ln\left \bruch{m_0}{m(t)} \righ[/mm] |
Hallo Leute!
...und einen schönen Sonntag Morgen allerseits!
Ich habe probiert, die Raketengleichung selber herzuleiten.
Jetzt möchte ich euch schildern, in welcher Art und Weise ich es versucht habe und bis vohin ich komme:
Zuerst einmal habe ich mir überlegt, die Erhaltungsgröße Impuls (in Verbindung mit dem 2. Newon'schen Axiom) zu verwenden.
Aber dann wird es schon für mich schwierig:
Soll ich nur den Gesamtimpuls (sozusagen) "nach" dem Stoß betrachten?
In jedem Fall wirkt ja keine äußere Kraft, sodass die Ableitung nach der Zeit null sein muss.
Hier beginnen meine Probleme schon!
Könnte mir einen (eventuell ein kleines bisschen ausfürhlich!) einen Ansatz geben?
Danke!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 24.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Goldener_Schnitt,
als Ansatz müsste man berücksichtigen, dass der Gesamtimpuls der Rakete konstant bleibt. Die Rakete nutzt den Impuls, um ihre Geschwindigkeit zu erhöhen. In der Zeit dt stößt die Rakete eine Treibstoffmasse [mm] dm_{Tr} [/mm] mit der Geschwindigkeit w aus. Hierdurch wird die Geschwindigkeit v der Rakete um dv erhöht. Für den Impulssatz gilt also:
$$ w [mm] \cdot dm_{Tr} [/mm] = - m [mm] \cdot [/mm] dv [mm] \, [/mm] , $$
wobei das Minuszeichen daher rührt, dass sich die Masse der Rakete verringert. Eine Division durch dt führt dann zu
$$ - w [mm] \cdot \bruch{dm_{Tr}}{dt} [/mm] = m [mm] \cdot \bruch{dv}{dt} \, [/mm] , $$
denn Du bist ja an den zeitlichen Änderungen der Größen interessiert.
Leichtes Umstellen führt zu
$$ - [mm] \bruch{w}{m} \bruch{dm_{Tr}}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{dv}{dt} \, [/mm] . $$
Der Massenzuwachs der Treibgase entspricht der Abnahme der Raketenmasse, also [mm] dm_{Tr} = - dm [/mm]. Das führt zu
$$ [mm] \bruch{w}{m} \bruch{dm}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{dv}{dt} \, [/mm] . $$
Was passiert nun innerhalb der Zeitspanne dt? Nun, die Masse der Rakete ändert sich von [mm] m_0 [/mm] auf m und die Geschwindigkeit von [mm] v_0 [/mm] auf v .
$$ [mm] \int_{v_0}^{v} [/mm] dv = [mm] \int_{m_0}^{m} [/mm] w [mm] \bruch{dm}{m} [/mm] $$
Das Integrieren führt direkt zur Raketengleichung. In Deiner Lösung ist die Anfangsgeschwindigkeit zu Null gewählt.
Viel Spaß beim Integrieren wünscht
Infinit
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (entsprich der zuvorgegbenen Antwort!) |
Hallo Infinit!
Zuerst mal ein großes DANKE für die ausführliche und aufschlußreiche Antwort!
Da ich in Moment nicht in der Lage bin, folgendes korrekt einzuordnen (in deine Antwort, in meinen weiteren Gedanken!) werfe ich es einfach mal ein:
Nach dem 2. Newton´schen Axiom gilt, dass die zeitliche Änderung des Impulses dann [mm]0[/mm] ist, wenn keine äußeren Kräfte wirken. Dass ist für die Rakete erfüllt.
Nun nenne ich mal den Impuls der Rakete [mm]p_R[/mm] und den der Gase [mm]p_G[/mm].
Dann wäre doch:
[mm]dp_R=m*dv[/mm]
und
[mm]dp_G=w*dm[/mm]
Hier ist schon das erste riesengroße Problem...und dass scheint viel allgemeiner Natur zu sein. Ich denke ich habe gerade ein Problem mit der "infitesimalen Vorstellung".
Wenn man mal dem Impuls der Rakete betrachtet, dann nimmt man ja die Masse in dem Zeitinvall als konstant an, aber nicht die Geschwindigkeit, dass zeigt ja das [mm]dv[/mm].
Wie ist das?
Wenn mir das klar wäre, dann käme ich weiter.
Dann würde doch:
[mm]dp_{ges.}=dp_R+dp_G=m*dv+w*dm[/mm]
Und somit die DGL:
[mm]\left \bruch{dp_{ges.}}{dt} \right=0=\left \bruch{dp_R+dp_G}{dt} \right=m*\left \bruch{dv}{dt} \right+w*\left \bruch{dm}{dt} \right[/mm]
Das gilt [mm]dm_{Tr}=-dm[/mm] verstehe ich und ist schon verwendet.
Division durch [mm]m[/mm] bringt:
[mm]0=\left \bruch{dv}{dt} \right+w*\left \bruch{w*dm}{m*dt} \right=w*\left \bruch{1}{m*dt} \right*dm[/mm]
Nach der Trennung der Variblen usw. (multiplikation mit [mm]dt[/mm] folgt durch Integration die Lösung der DGL:
[mm]v=-w*ln\left(\left \bruch{m_0}{m(t)} \right\right)[/mm]
Nun bleibt jedoch meine Frage, die ich beschrieb.
Schon mal wieder danke für die Anworten!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 24.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Goldener Schnitt,
ich kann Deine Frage gut nachvollziehen, kann Dir aber nur die Antwort geben, dass die hinter der Fragestellung stehende Modellbildung eine wichtige Rolle spielt. Die ist hier an den Impulssatz angelehnt bzw. die damit verbundene Impulsänderung. Um hier noch zu einer lösbaren DGL zu kommen, muss man sich überlegen, welche der Größen sich innerhalb des Zeitintervalls spürbar ändern und welche man als konstant annehmen kann.
Für die Treibgase kann man hier damit argumentieren, dass diese mit konstanter Geschwindigkeit ausgestoßen werden und die Masse sich um einen kleinen Betrag nur ändert, nämlich um [mm] dm_{Tr} [/mm]. Bei der großen Raketenmasse ändert sich nicht viel, man kann sie als konstant betrachten, und die Geschwindigkeit ändert sich um [mm] dv [/mm]. Diese Modellbildung ist praktisch und einigermaßen realitätsnah. Für eine kleine Feuerwerksrakete dürfte diese Art der Modellbildung nicht so praxisnah sein.
Die Sache ist also nicht so einfach, aber man nimmt einiges in Kauf, um noch rechnen zu können.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (bezieht sich auf vorangegangen Dialog!) |
Hallo Infinit!
...und abermals danke für deine Bereitschaft mir zu antworten!
Erstmal wollte ich sagen, dass ich dass jetzt nachvollziehen kann, wenn du das so sagst.
Nun ist es aber doch auch so dass die "Verfälschung" zwar sehr klein ist, jedoch auch in einem infetesilmalen Zeitintervall auftritt....und sich somit doch auch "ganz schön" aufsummiert, oder?
Und eine weitere Frage: Bei dem was ich geschrieben habe:
Der Impulserhaltungssazu sagt doch etwas von "Impuls vor dem Stoß ist gleich dem nach dem Stoß".
Habe ich das überhaupt eingebracht und wennn ja in welcher Weise.
Ich freue mich schon auf deine Antwort!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 So 24.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Goldener Schnitt,
ich kann Deine Argumentation nachvollziehen, dass damit auch Verfälschungen auftreten, die Frage ist aber, sind sie akzeptabel oder nicht. Bei dem Anteil, der die Impulsänderung der Rakete betrifft, ändert sich in dem infinitesimal kleinen Zeitraum die Geschwindigkeit stärker als die Abnahme der Masse, weswegen man die Raketenmasse in diesem Zeitintervall als konstant ansieht. Ist die Änderung dieser Größe nicht vernachlässigbar, so muss man sie in die Aufstellung der Gleichung miteinbeziehen als variable Größe, hier geht es glücklicherweise ohne.
Das berühmte Beispiel des Stoßes ist ein Beispiel für den Impulserhaltungssatz, der aber generell aussagt, dass in einem abgeschlossenen System der Gesamtimpuls konstant bleibt. Hieraus folgt, dass die Summe über alle Impulsänderungen gleich Null sein muss und genau das haben wir bei der Aufstellung der Impulsänderungsgleichungen für den Gesamtimpuls der Treibgase und den Gesamtimpuls der Rakete ausgenutzt. Natürlich muss man überprüfen, ob in einem physikalischen System der Impulserhaltungssatz gilt. Wenn dies der Fall ist, so kann man recht einfach Vorgänge behandeln, bei denen nur der Anfangs- und der Endzudtand eines Systems von Interesse ist, ohne nach dem exakten Ablauf fragen zu müssen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (Siehe Antwort zuvor!) |
Hallo Infinit!
...und einen schönen guten Morgen !
Ersteinmal wieder danke für deine ausfürhliche Antwort!
Entschuldige bitte, dass ich erst so spät auf deine Antwort reagieren, aber ich habe es irgendwie "verschlampt".
Mal zuerst zu dem Beispiel des "Stosses". Das ist mir jezt klar; das eignet sich ja vorzüglich als Einführungsbeispiel in solches "Bilanzieren".
Die Übertrgung auf dies Raketen scheint mir nun auch klar geworden!
Nun aber noch mal zu der Sache mit der konstanten Masse im infitesimalen Zeitinverall.
Ich habe mir überlegt:
Wenn man die Sache numerisch lösen würden, dann kommt man doch dem Ideal für den Grenzübergang immer näher, je kleiner das Zeitintervall gewählt wird, d.h. "je konstanter" die Masse ist. Für den Grenzübergang kann man sie doch dann als konstant ansehen und unter der Bedingug dann die infitismale Geschwindigkeitsänderung betrachten.
Also wie groß ist dann der Fehler? Nun, im infitesimalen Zeitinvervall ist dieser ja auch verschwindend gering. Aber was geschieht dann bei der Integration, wird er dann überhaupt noch vernachlässigbar sein?
...oder ist diese Frage nur sehr schwierig zu beantworten und für mich wahrscheinlich garnicht nachvollziehbar?
Ich danke dir jezt schon mal für deine Antwort!
Mit lieben Güßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich muss mich mal einmischen, weil ein statement von infinit so nicht ganz richtig ist!
die Änderung der Masse der Rakete wird sehr wohl mitgerechnet!
Anfang p(t)=m*v (d statt [mm] \Delta [/mm] )
$p(t+dt)=(m-dm)*(v+dv)+dm*(v-w)$
nur von der Rakete aus betrachtet ist die Ausstömgeschw. w von aussen ist sie v-w!
damit
$p(t+dt)=mv-vdm+mdv-dvdm+v*dm-wdm$
damit
$p(t+dt)-p(t)=mdv-wdm$
wie bei allen Differentialen werden Glieder zweiter Ordnung dvdm vernachlässigt.
Impulserhaltungssatz sagt p(t+dt)-p(t)=0
also haben wir ohne schummeln die Raketengleichung:
mdv-wdm=0
sie gilt auch, wenn die Rakete bis zum letzten g aufgebraucht wird! allerdings setzt sie eine im Bezug zur Rakete konstante Ausströmgeschwindigkeit w vorraus.
Gruss leduart
|
|
|
|
