Radon-Nikodym-Dichte ex. nicht < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \{A\subset \IR: A \mbox{ oder }A^{c} \mbox{ abzählbar}\}$ [/mm] über [mm] \IR, [/mm] und gegeben sind zwei Maße auf [mm] (\IR,\mathcal{A}) [/mm] durch:
[mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \begin{cases}|A|, \quad \mbox{falls } A \mbox{ endlich}\\ \infty,\quad \mbox{ sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $\nu(A) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad \mbox{falls } A \mbox{ abzählbar}\\ 1,\quad \mbox{falls } A^{c} \mbox{ abzählbar}\end{cases}$
[/mm]
Man zeige: [mm] $\nu [/mm] << [mm] \mu$ (\nu [/mm] ist absolut stetig bzgl. [mm] \mu), [/mm] aber [mm] \nu [/mm] besitzt keine Radon-Nikodym-Dichte bzgl. [mm] \mu. [/mm] |
Hallo!
Die obige Aufgabe bereitet mir Probleme.
Wenn [mm] \nu [/mm] eine Dichte f bzgl. [mm] \mu [/mm] besitzen soll, dann müsste gelten:
[mm] $\nu(A) [/mm] = [mm] \int_{A} [/mm] f \ [mm] d\mu$.
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, wie ich das zum Widerspruch führen soll, da mir völlig unklar ist, was das Integral für Werte annimmt.
Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung
> geben?
Zuersteinmal muss f eine messbare Funktion, und da gibt es auf der Sigma-Algebra nicht so viele ... dann weiter: betrachte die Gleichung mal für ein überabzählbares A. Was hat ein messbares f da für Werte? Was ergibt das Integral dann? Was müsste es ergeben?
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort!
> > Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung
> > geben?
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> Zuersteinmal muss f eine messbare Funktion, und da gibt es
> auf der Sigma-Algebra nicht so viele ... dann weiter:
> betrachte die Gleichung mal für ein überabzählbares A.
> Was hat ein messbares f da für Werte? Was ergibt das
> Integral dann? Was müsste es ergeben?
Es müsste ja [mm] $\nu(A) [/mm] = 1$ ergeben (Im Falle, dass A überabzählbar, also [mm] A^{c} [/mm] abzählbar.
"Was hat ein messbares f da für Werte" - das weiß ich auch nicht, irgendwelche, nehme ich an...
Ach so: f ist ja wahrscheinlich als Dichte größer gleich Null.
Das Integral ist dann auch größer gleich Null. Wenn das Integral den Wert 1 haben soll, muss also f an einigen Stellen ("wie viele" genau? abzählbar, endlich, reicht eine, weil [mm] \mu [/mm] keine Nullmengen hat?) einen Wert echt > 0 haben (?).
Wenn ich nun aber eine Teilmenge von A betrachte, die abzählbar ist, und ich nehme gerade die Stellen, wo ich vorher f als echt > 0 festgestellt habe, dann kommt aber plötzlich Null raus...
Stimmen die Gedanken?
Wie muss ich das jetzt richtig formulieren?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Es müsste ja [mm]\nu(A) = 1[/mm] ergeben (Im Falle, dass A
> überabzählbar, also [mm]A^{c}[/mm] abzählbar.
> "Was hat ein messbares f da für Werte" - das weiß ich
> auch nicht, irgendwelche, nehme ich an...
Das weißt du ziemlich genau, da die Dichte meßbar sein muss!
> Ach so: f ist ja wahrscheinlich als Dichte größer gleich
> Null.
Ja, das auch.
> Das Integral ist dann auch größer gleich Null. Wenn das
> Integral den Wert 1 haben soll, muss also f an einigen
> Stellen ("wie viele" genau? abzählbar, endlich, reicht
> eine, weil [mm]\mu[/mm] keine Nullmengen hat?) einen Wert echt > 0
> haben (?).
Was hindert dich mal ein überabzählbares A einzusetzen? Dann nimm deine Dichte f und überleg dir mal, wir du das Integral der rechten Seite brechnest.
> Wenn ich nun aber eine Teilmenge von A betrachte, die
> abzählbar ist, und ich nehme gerade die Stellen, wo ich
> vorher f als echt > 0 festgestellt habe, dann kommt aber
> plötzlich Null raus...
Was? f kann och 0 sein an manchen Stellen, oder?! Was willst du machen?
SEcki
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Hallo SEcki,
> > Es müsste ja [mm]\nu(A) = 1[/mm] ergeben (Im Falle, dass A
> > überabzählbar, also [mm]A^{c}[/mm] abzählbar.
> > "Was hat ein messbares f da für Werte" - das weiß ich
> > auch nicht, irgendwelche, nehme ich an...
>
> Das weißt du ziemlich genau, da die Dichte meßbar sein
> muss!
>
> > Ach so: f ist ja wahrscheinlich als Dichte größer gleich
> > Null.
>
> Ja, das auch.
> Was hindert dich mal ein überabzählbares A einzusetzen?
> Dann nimm deine Dichte f und überleg dir mal, wir du das
> Integral der rechten Seite brechnest.
Okay, ich nehme man $A = [mm] \IR$: [/mm] Dann steht da:
$1 = [mm] \nu(\IR) [/mm] = [mm] \int_{\IR}f d\mu$
[/mm]
Das Problem ist, das ist faktisch wenig Ahnung habe, wie ich die rechte Seite jetzt weiter umformen kann. Ich weiß, dass ich nun f als Grenzwert einer aufsteigenden Folge primitiver Funktionen darstellen kann - aber meinst du das mit ausrechnen?
$f = [mm] \lim_{n\to\infty}X_{n}$, $X_{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{k_{n}}1_{A_{i}}*x_{i}$
[/mm]
Dann:
[mm] $\int_{\IR}f d\mu [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\int X_{n} d\mu [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k_{n}}x_{i}'*\mu(A_{i})$.
[/mm]
Nun muss mindestens ein [mm] A_{i} [/mm] ja trotzdem immer überabzählbar sein, da ja [mm] \IR [/mm] die Vereinigung aller [mm] A_{i} [/mm] ist - in diesem Fall stände da [mm] \infty. [/mm] Aber das [mm] x_{i} [/mm] muss ja in diesem Fall nicht ungleich Null sein?
Danke für die Hilfe 
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nun muss mindestens ein [mm]A_{i}[/mm] ja trotzdem immer
> überabzählbar sein, da ja [mm]\IR[/mm] die Vereinigung aller [mm]A_{i}[/mm]
> ist - in diesem Fall stände da [mm]\infty.[/mm] Aber das [mm]x_{i}[/mm] muss
> ja in diesem Fall nicht ungleich Null sein?
Jupp, aber dann wäre das Integral ja unendlich. Für die endlichen Mengen muss f ja 0 sein ... Ich wollte drauf hinaus, dass das Integral entweder 0 oder unendlich ist - aber niemals 1.
SEcki
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Hallo SEcki,
Danke, ich glaube, ich habe es verstanden.
Grüße,
Stefan
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