Radikalideale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Zu zeigen
(i) Jedes maximale Ideal [mm] \mathfrak{m}\subseteq [/mm] R ist ein Radikalideal
(ii) Jedes Primideal [mm] \mathfrak{p} \subseteq [/mm] R ist ein Radikalideal
(iii) Das Jacobson-Radikal [mm] Jac(R)\subseteq [/mm] R ist ein Radikalideal |
Hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
zu (i) Sei [mm] \mathfrak{m}\subseteq [/mm] R maximal Ideal. Dann wissen wir, dass [mm] \mathfrak{m}\neq [/mm] R und sei [mm] \wurzel{I}\subseteq [/mm] R ein echtes Ideal mit [mm] \mathfrak{m}\subseteq\wurzel{I}. [/mm] Daraus folgt dann [mm] \wurzel{I}= \mathfrak{m}
[/mm]
kann ich das so zeigen?
zu (ii) Sei [mm] x^n\in \mathfrak{p}, [/mm] so gilt [mm] x\in \mathfrak{p} [/mm] oder [mm] x^{n-1}\in\mathfrac{p}, [/mm] d.h. es ex. ein [mm] n\in x^n\in \mathfrak{p}, [/mm] denn sei [mm] x\in [/mm] R und [mm] x^{n-1}\in\mathfrak{p} [/mm] dann wissen wir, dass [mm] R\cdot \mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p} [/mm] ist.
zu (iii). Erstmal die Definiton :
Sei [mm] \mathcal{M} [/mm] die Menge aller maximalen Ideal in R. Dann ist
[mm] Jac(R):=\bigcap_{\mathfrak{m}\subseteq \mathcal{M}}\mathfrak{m}\subseteq [/mm] R ein Jacobson-Radikal.
Sei [mm] x\in \bigcap_{\mathfrak{m}\subseteq \mathcal{M}}\mathfrak{m}, [/mm] d.h. x liegt in allen maximalen Ideale in R und Schnitte von Ideale sind wieder Ideale. Leider komme da nicht weiter.
Könnt ihr mir sagen in wie weit das richtig ist was ich aufgeschrieben habe bzw. Tipps geben? Dankeschön im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Fr 27.10.2017 | | Autor: | hippias |
Bei i) scheinst Du gar nicht zu wissen, was ein Radikalideal ist und ii) ist einfach unsinnig.
Daher gib hier zuerst die Definition eines Radikalideals an und versuche diese für ein maximales Ideal nachzuprüfen. Dann sehe man weiter.
|
|
|
| |
|
Sei [mm] I\subseteq [/mm] R ein Ideal. Ein Radikalideal ist ein Ideal, das mit seinem Radikal übereinstimmt, d.h. [mm] \wurzel{I}=I [/mm] und
[mm] \wurzel{I}:=\lbrace x\in [/mm] R | [mm] \exits n\in\IN: x^n\in [/mm] I [mm] \rbrace
[/mm]
zu (i) Sei [mm] x\in \wurzel{\mathfrak{m} }. [/mm] Dann [mm] \exists n\in\IN [/mm] mit [mm] x^n\in\mathfrak{m} [/mm] und [mm] x^{n-1}\cdot x\in\mathfrak{m}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in\mathfrak{m}
[/mm]
dasselbe hätte ich auch für Primideal gemacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Sa 28.10.2017 | | Autor: | hippias |
Schon besser! Aber dass Du dafür nicht die volle Punktzahl erhälst, dürfte Dir klar sein. Versuche die Behauptung für das Jacobson-Radikal ganz ähnlich zu zeigen.
|
|
|
| |
|
Da das Jacobson- Radikal als der Durschnitt aller maximalen Ideale definiert ist, hätte ich folgendes gemacht:
Sei [mm] x\in\wurzel{Jac(R)}, [/mm] dann [mm] \exists n\in\IN [/mm] mit [mm] x^n\in [/mm] Jac(R). Dann ist [mm] x^{n-1}\cdot [/mm] x [mm] \in [/mm] Jac(R) [mm] \Rightarrow x\in [/mm] Jac(R) ?
|
|
|
| |
|
Du schreibst hin, wie das Jacobson-Radikal definiert ist, und benutzt dann in deinem "Beweis" nichts, was irgendwie mit der Definition zu tun hat.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
|
|
|
|
