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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mo 17.10.2011 | | Autor: | valoo |
Hallo!
Zu beweisen sind ein paar Identitäten bzw. Aussagen bezüglich Radikalidealen eines kommutativen Ringes R mit 1.
Das meiste ist klar, nur habe ich irgendwie ein Problem, folgendes zu zeigen:
[mm] \sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}
[/mm]
Die eine Enthaltensrichtung (links in rechts) ist ja noch einfach, aber andersherum...mmh?
Sei [mm] x\in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}
[/mm]
das heißt: [mm] \exists n\in \IN: x^{n}=\alpha+\beta
[/mm]
mit [mm] \alpha\in \sqrt{I}
[/mm]
und [mm] \beta\in \sqrt{J} [/mm]
also [mm] \alpha^{m}\in [/mm] I
und [mm] \beta^{k}\in [/mm] J
aber warum ist nun [mm] x^{l}\in(I+J) [/mm] für ein [mm] l\in\IN [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hallo!
>
> Zu beweisen sind ein paar Identitäten bzw. Aussagen
> bezüglich Radikalidealen eines kommutativen Ringes R mit
> 1.
> Das meiste ist klar, nur habe ich irgendwie ein Problem,
> folgendes zu zeigen:
> [mm]\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}[/mm]
> Die eine Enthaltensrichtung (links in rechts) ist ja noch
> einfach, aber andersherum...mmh?
> Sei [mm]x\in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}[/mm]
> das heißt: [mm]\exists n\in \IN: x^{n}=\alpha+\beta[/mm]
>
> mit [mm]\alpha\in \sqrt{I}[/mm]
> und [mm]\beta\in \sqrt{J}[/mm]
> also [mm]\alpha^{m}\in[/mm] I
> und [mm]\beta^{k}\in[/mm] J
> aber warum ist nun [mm]x^{l}\in(I+J)[/mm] für ein [mm]l\in\IN[/mm] ?
Probiers mit [mm](x^{n})^{2max(m, k)} [/mm] und denk an den binomischen Lehrsatz.
Grüße,
Berieux
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