(R,+) und (R,*) isomorph? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:15 So 24.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \IR^{\*}:=\{r \in \IR | r > 0\}. [/mm] Man zeige dass [mm] (\IR,+) [/mm] und [mm] (\IR^{\*},*) [/mm] isomorph sind. |
Hallo,
ich weiß dass die Exponentialfunktion solch ein gesuchter Isomorphismus ist.
Ich muss zeigen dass:
1. f ist bijektiv
2. [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in (\IR,+):[/mm] [mm]f(x+y)=f(x)*f(y)[/mm]
Beweis:
2. Folgt aus der Definition der Exponentialfunktion, da gilt [mm]exp(x+y)=exp(x)*exp(y)[/mm]
1. zz: exp ist injektiv und surjektiv
injektiv:
exp(a)=exp(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
surjektiv:
Es ex. für jedes b min. ein a, so dass exp(a)=b.
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich das zeigen soll.
Vielen Dank
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Hallo Lyrn,
> Es sei [mm]\IR^{\*}:=\{r \in \IR | r > 0\}.[/mm] Man zeige dass
> [mm](\IR,+)[/mm] und [mm](\IR^{\*},*)[/mm] isomorph sind.
> Hallo,
> ich weiß dass die Exponentialfunktion solch ein gesuchter
> Isomorphismus ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich muss zeigen dass:
> 1. f ist bijektiv
> 2. [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in (\IR,+):[/mm] [mm]f(x+y)=f(x)*f(y)[/mm]
>
>
>
> Beweis:
> 2. Folgt aus der Definition der Exponentialfunktion, da
> gilt [mm]exp(x+y)=exp(x)*exp(y)[/mm]
>
> 1. zz: exp ist injektiv und surjektiv
>
> injektiv:
> exp(a)=exp(b) [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
Ja, das ist zu zeigen, wieso gilt das denn?
Zeige vllt. alternativ, dass [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm] ist, dass also [mm]0[/mm] die einzige reelle Zahl ist, die auf 1 abgebildet wird.
>
> surjektiv:
> Es ex. für jedes b min. ein a, so dass exp(a)=b.
>
> Jetzt weiß ich aber nicht wie ich das zeigen soll.
Hmm, das hängt davon ab, was ihr alles über die Exponentialfkt. wisst.
Habt ihr schon den Logarithmus?
Oder kannst du die Stetigkeit und das Grenzverhalten von [mm]\exp(x)[/mm] für [mm]x\to\pm\infty[/mm] benutzen?
>
> Vielen Dank
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 So 24.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Ja, das ist zu zeigen, wieso gilt das denn?
>
> Zeige vllt. alternativ, dass [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm]
> ist, dass also [mm]0[/mm] die einzige reelle Zahl ist, die auf 1
> abgebildet wird.
Der Kern enthält alle Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden.
Ich versteh aber nicht ganz die Idee dahinter, wenn ich zeige dass
> [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm] ist, dass also [mm]0[/mm] die einzige reelle Zahl ist, die auf 1 abgebildet wird.
Kannst mir das bitte genauer erklären?
> > surjektiv:
> > Es ex. für jedes b min. ein a, so dass exp(a)=b.
> >
> > Jetzt weiß ich aber nicht wie ich das zeigen soll.
>
> Hmm, das hängt davon ab, was ihr alles über die
> Exponentialfkt. wisst.
>
> Habt ihr schon den Logarithmus?
>
> Oder kannst du die Stetigkeit und das Grenzverhalten von
> [mm]\exp(x)[/mm] für [mm]x\to\pm\infty[/mm] benutzen?
Also Stetigkeit und das Grenzverhalten dürfen wir auf keinen Fall benutzen.
Beim Logarithmus bin ich mir nicht sicher, da wir die Exponentialfunktion auch nicht hatten, der Prof. aber den Tipp gegeben hat diese bei der Aufgabe zu benutzen.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Aber eigentlich sagt die Existenz einer Umkehrfunktion doch schon aus, dass die Exp. Funktion bijektiv ist, also müsste ich ja nur das zeigen und könnte mir den Rest mit injektiv sparen.
Gibt es noch einen weiteren Weg ohne Log, Grenzwert und Stetigkeit? Weil ich mir ebend nicht sicher bin ob wir den Log benutzen dürfen.
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Hallo nochmal,
> > Ja, das ist zu zeigen, wieso gilt das denn?
> >
> > Zeige vllt. alternativ, dass [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm]
> > ist, dass also [mm]0[/mm] die einzige reelle Zahl ist, die auf 1
> > abgebildet wird.
>
> Der Kern enthält alle Elemente, die auf das neutrale
> Element abgebildet werden.
> Ich versteh aber nicht ganz die Idee dahinter, wenn ich
> zeige dass
> > [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm] ist, dass also [mm]0[/mm] die
> einzige reelle Zahl ist, die auf 1 abgebildet wird.
> Kannst mir das bitte genauer erklären?
Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern desselben nur aus dem Nullvektor/Nullelement besteht!
> Gibt es noch einen weiteren Weg ohne Log, Grenzwert und
> Stetigkeit? Weil ich mir ebend
Hmmmm, bitte !!
> nicht sicher bin ob wir den
> Log benutzen dürfen.
Weiß ich gerade nicht ...
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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> > > Zeige vllt. alternativ, dass [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm]
> > > ist, dass also [mm]0[/mm] die einzige reelle Zahl ist, die auf 1
> > > abgebildet wird.
> >
> > Der Kern enthält alle Elemente, die auf das neutrale
> > Element abgebildet werden.
> > Ich versteh aber nicht ganz die Idee dahinter, wenn ich
> > zeige dass
> > > [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm] ist, dass also [mm]0[/mm] die
> > einzige reelle Zahl ist, die auf 1 abgebildet wird.
> > Kannst mir das bitte genauer erklären?
>
> Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern
> desselben nur aus dem Nullvektor/Nullelement besteht!
Hallo schachuzipus,
da bist du wohl an die falsche Schublade geraten ... 
Der Begriff "Kern" bezieht sich auf lineare Abbildungen
in Vektorräumen oder aber auf Gruppenhomomorphismen
(von denen man schon weiß, dass sie solche sind).
Hier wäre aber gerade Letzteres erst zu zeigen.
LG Al-Chw.
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Hallo Al,
> > > > Zeige vllt. alternativ, dass [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm]
> > > > ist, dass also [mm]0[/mm] die einzige reelle Zahl ist, die auf 1
> > > > abgebildet wird.
> > >
> > > Der Kern enthält alle Elemente, die auf das neutrale
> > > Element abgebildet werden.
> > > Ich versteh aber nicht ganz die Idee dahinter, wenn
> ich
> > > zeige dass
> > > > [mm]\operatorname{ker}(exp)=\{0\}[/mm] ist, dass also [mm]0[/mm] die
> > > einzige reelle Zahl ist, die auf 1 abgebildet wird.
> > > Kannst mir das bitte genauer erklären?
> >
> > Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern
> > desselben nur aus dem Nullvektor/Nullelement besteht!
>
>
> Hallo schachuzipus,
>
> da bist du wohl an die falsche Schublade geraten ...
>
>
> Der Begriff "Kern" bezieht sich auf lineare Abbildungen
> in Vektorräumen oder aber auf Gruppenhomomorphismen
> (von denen man schon weiß, dass sie solche sind).
> Hier wäre aber gerade Letzteres erst zu zeigen.
Aber das hat der OP doch bereits getan?!
Er hat es zwar kurz, aber doch richtig mit der Funktionalgleichung der Exponentialfkt. getan:
Oben steht doch so etwas wie: nach der FG gilt [mm] $e^{x+y}=e^x\cdot{}e^y$
[/mm]
Das ist doch gerade die Homomorphieeigenschaft.
Und dass die beiden Mengen Gruppen sind, habe ich implizit als klar angenommen ...
>
> LG Al-Chw.
>
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schachuzipus
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> > Der Begriff "Kern" bezieht sich auf lineare Abbildungen
> > in Vektorräumen oder aber auf Gruppenhomomorphismen
> > (von denen man schon weiß, dass sie solche sind).
> > Hier wäre aber gerade Letzteres erst zu zeigen.
>
> Aber das hat der OP doch bereits getan?!
>
> Er hat es zwar kurz, aber doch richtig mit der
> Funktionalgleichung der Exponentialfkt. getan:
>
> Oben steht doch so etwas wie: nach der FG gilt
> [mm]e^{x+y}=e^x\cdot{}e^y[/mm]
>
> Das ist doch gerade die Homomorphieeigenschaft.
>
> Und dass die beiden Mengen Gruppen sind, habe ich implizit
> als klar angenommen ...
Hallo schachuzipus,
ja, das habe ich nachträglich auch gemerkt - aber da war
meine Meldung schon abgeschickt.
Von einer klaren Begründung würde ich aber erwarten,
dass auf die Homomorphieeigenschaft ausdrücklich hin-
gewiesen wird, wenn sie für den Beweis ja so zentral ist.
LG Al
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> Beim Logarithmus bin ich mir nicht sicher, da wir die
> Exponentialfunktion auch nicht hatten, der Prof. aber den
> Tipp gegeben hat diese bei der Aufgabe zu benutzen.
Hallo,
wenn Ihr die Exponentialfunktion nicht hattet, sie aber benutzen sollt,
dann sehe ich keinen Grund dafür, auf die Verwendung ihrer Eigenschaften oder der der Logarithmusfunktion zu verzichten.
Oder Du schreibst einfach: lt. Analysis bildet die Exponentialfunktion [mm] f(x):=e^x [/mm] bijektiv aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR^{\*} [/mm] ab, und es gilt [mm] f(x+y)=e^{x+y}=e^x*e^y=f(x)*f(y).
[/mm]
Also sind die Mengen isomorph.
Graue Haare würd' ich mir hier nicht wachsen lassen.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:38 So 24.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo!
Gibt es einen Weg die Bijektivität mit Hilfe der Logarithmusfunktion nachzuweisen? Ich weiß dass wenn eine Funktion bijektiv ist, dass ist es auch die Umkehrfunktion.
Heißt also: Wenn die Log. Funktion bijektiv ist, dann ist auch die e-Funktion bijektiv.
Aber das kann ich so ja sicher nicht als Nachweis verwenden.
lg
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Hallo,
für mein Empfinden kämpfst Du gerade an einer Stelle, wo sich kein Kampf lohnt:
Deine Frage steht im LA-Forum, und ich nehme an, daß sie der just begonnenen Anfängervorlesung entstammt.
Wenn Ihr weder die Exponential- noch die Logarithmusfunktion bisher besprochen habt, sie aber verwenden sollt, dann wird sicher nicht von Dir erwartet, daß Du sie den Regeln der Kunst entsprechend einführst und ihre Eigenschaften beweist.
(Wenn Du das alles allein könntest, bräuchtest Du ja auch nicht in die Analysisvorlesung zu gehen.)
Mein Rat: verwende hier ausnahmsweise das, was Du aus der Schule weißt und konzentriere Dich auf wesentliche Aspekte Deiner Vorlesung bzw. Deines Übungsblattes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 26.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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