R-Modul < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:43 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Tina |
Schönen guten Abend!
Ich hab' da mal eine Frage. Also folgende Aufgabe habe ich vor mir liegen und finde nicht so recht nen Ansatz:
Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]\Phi \in End(V)[/mm]. Es sei [mm]R:=K[X][/mm]; dann wird V durch die Definition [mm]f.v:=f(\Phi)(v)(v\in V,f\in R)[/mm] zu einem endlich erzeugten R-Modul, der mit [mm]V_{\Phi}[/mm]. Zeigen SIe:
a) Die R-Untermoduln von [mm]V_{\Phi}[/mm] sind genau die [mm]\Phi[/mm]-invarianten Teilräume von V. Für [mm]v\in V[/mm] ist R.v ein [mm]\Phi[/mm]-zyklischer Teilraum von V (d.h. R.v hat eine Basis der Form ([mm]w,\Phi(w),...,\Phi^{m-1}(w)[/mm]) für ein [mm]w \in R.v[/mm] und [mm]m\in\IN[/mm]).
b) Ist auch [mm]\gamma \in End(V)[/mm], so gilt [mm]V_{\Phi}\cong_RV_{\gamma}[/mm] genau dann, wenn es einen Automorphismus [mm]\varphi \in End(V)[/mm] gibt mit [mm]\gamma=\varphi^{-1}\Phi\varphi[/mm].
c) Ist [mm]B=(v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V und [mm]A:=M_B(\Phi)\inK^{nxn}[/mm], so gilt [mm]V_{\Phi}\cong_RR^{nx1}/SM(XE_n-A)[/mm].
Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben? Ich verstehe auch die obengegebene Definition so ganz, könnt ihr mir vielleicht helfen?
Danke im voraus
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tina!
> Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und
> [mm]\Phi \in End(V)[/mm]. Es sei [mm]R:=K[X][/mm]; dann wird V durch die
> Definition [mm]f.v:=f(\Phi)(v)(v\in V,f\in R)[/mm] zu einem endlich
> erzeugten R-Modul, der mit [mm]V_{\Phi}[/mm]. Zeigen SIe:
>
> a) Die R-Untermoduln von [mm]V_{\Phi}[/mm] sind genau die
> [mm]\Phi[/mm]-invarianten Teilräume von V.
Das ist einfach. Ist $W$ ein $R$-Untermodul von [mm] $V_{\Phi}$, [/mm] dann muss insbesondere für alle $w [mm] \in [/mm] W$ auch
$f* w [mm] \in [/mm] W$ mit $f(x)=x [mm] \in \IK[X]$
[/mm]
in $W$ liegen, und es gilt:
$f* w = [mm] f(\Phi)(w) [/mm] = [mm] \Phi(w)$.
[/mm]
Somit ist für alle $w [mm] \in [/mm] W$ auch [mm] $\Phi(w) \in [/mm] W$, also ist $W$ [mm] $\Phi$-invariant.
[/mm]
Es sei nun umgekehrt $W$ [mm] $\Phi$-invariant. [/mm] Dann gilt für alle $w [mm] \in [/mm] W$ und alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (induktiv):
[mm] $\Phi^n(w) \in [/mm] W$.
Da $W$ ein Unterraum von $V$ ist, folgt:
[mm] $f(\Phi)(w) \in [/mm] W$ für alle $f [mm] \in \IK[X]$,
[/mm]
also:
$f * w [mm] \in [/mm] W$.
Man schließt nun (mit den gleichen Argumenten ($W$ ist Unterraum): Für alle $w,w' [mm] \in [/mm] W$ und alle $f,f' [mm] \in R=\IK[X]$ [/mm] gilt:
$f* w + f'*w' [mm] \in [/mm] W$.
Daher ist $W$ ein $R$-Untermodul von [mm] $V_{\Phi}$.
[/mm]
> Für [mm]v\in V[/mm] ist R.v ein
> [mm]\Phi[/mm]-zyklischer Teilraum von V (d.h. R.v hat eine Basis der
> Form ([mm]w,\Phi(w),...,\Phi^{m-1}(w)[/mm]) für ein [mm]w \in R.v[/mm] und
> [mm]m\in\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
).
Offenbar gilt für alle $n \in \IN$ und alle $w \in R*v$:
$\Phi^n(w) \in R*v$,
da $w = f* v$ für ein $f \in R$ und da mit $f \in R=\IK[X]$ auch $g \in \IK[X]$ gilt mit $g(x)=x^n\cdot f(x)$.
Es sei $m$ minimal mit der Eigenschaft, dass
$w,\Phi(w),\ldots,\Phi^{m-1}(w)$
linear unabhängig sind.
Dann gibt es $a_0,\ldots,a_{m} \in \IK$, die nicht alle verschwinden, mit
(1) $a_0w + a_1 \Phi(w) + \ldots + a_{m-1} \Phi^{m-1}(w) + a_m \Phi^m(w) = 0$.
Setze nun:
$f(x):= a_0 + a_1x + \ldots a_{m-1} x^mn-1} + a_m x^m$.
Wir müssen zeigen, dass die Familie $\{w,\Phi(w),\ldots,\Phi^{m-1}(w)\}$ den Unterraum $R \cdot v$ erzeugt.
Ist aber $g \in R=\IK[X]$ beliebig gewählt, dann kann man $g$ durch $f$ mit Rest teilen. Aus (1) folgt dann die Behauptung.
Der Schluss war etwas knapp, aber es sind halt alles Standard-Algebra-Argumente und ich muss jetzt dringend ins Bett.  Du kannst ja in den nächsten Tagen nochmal bei Unklarheiten nachfragen.
Vielleicht macht ja jemand (ebentuell auch ich) die anderen Teilaufgaben auch noch bzw. gibt ein paar Tipps.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tina!
> b) Ist auch [mm]\gamma \in End(V)[/mm], so gilt
> [mm]V_{\Phi}\cong_RV_{\gamma}[/mm] genau dann, wenn es einen
> Automorphismus [mm]\varphi \in End(V)[/mm] gibt mit
> [mm]\gamma=\varphi^{-1}\Phi\varphi[/mm].
[mm] $"`\Rightarrow"'$:
[/mm]
Es gebe also einen $R$-Modul-Isomorphismus von [mm] $V_{\Phi}$ [/mm] nach [mm] $V_{\gamma}$, [/mm] den ich mit [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] bezeichne, also:
[mm] $\varphi^{-1} [/mm] : [mm] V_{\Phi} \to V_{\gamma}$.
[/mm]
Insbesondere gilt für [mm] $f\in R=\IK[X]$ [/mm] mit $f(x)=x$ und alle $v [mm] \in [/mm] V$:
[mm] $\varphi^{-1}(f\cdot [/mm] v) = [mm] f\cdot \varphi^{-1}(v)$,
[/mm]
also:
[mm] $\varphi^{-1}(\Phi(v)) [/mm] = [mm] \gamma(\varphi^{-1}(v))$.
[/mm]
Es sei $w [mm] \in [/mm] V$ beliebig gewählt. Dies bedeutet für [mm] $v:=\varphi(w)$
[/mm]
[mm] $\varphi^{-1}(\Phi(\varphi(w)) [/mm] = [mm] \gamma(w)$,
[/mm]
also:
[mm] $\gamma [/mm] = [mm] \varphi^{-1} \Phi \varphi$.
[/mm]
[mm] $"`\Leftarrow"'$:
[/mm]
Es gebe also einen Automorphismus [mm]\varphi \in End(V)[/mm] mit
[mm]\gamma=\varphi^{-1}\Phi\varphi[/mm]
Ich definiere:
[mm]\Psi : \begin{array}{ccc} V_{\Phi} & \to & V_{\gamma}\\[5pt] v & \mapsto & \varphi^{-1}(v) \end{array}.[/mm]
Da [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] ein Automorphismus ist, ist [mm] $\Psi$ [/mm] bijektiv. Zu zeigen bleibt die $R$-Modul-Homomorphismuseigenschaft.
Aber: Für alle $f, g [mm] \in R=\IK[X]$ [/mm] und alle $v,w [mm] \in V_{\Phi}$ [/mm] gilt:
[mm]\Psi(f \cdot v + g \cdot w)[/mm]
[mm] = \varphi^{-1} (f \cdot v + g \cdot w)[/mm]
[mm] = \varphi^{-1} (f(\Phi) v + g(\Phi)w)[/mm]
[mm] = \varphi^{-1} (f(\Phi) \varphi(\varphi^{-1}(v)) + g(\Phi) \varphi(\varphi^{-1}(w)) )[/mm]
[mm] = \varphi^{-1} (f(\Phi) \varphi(\varphi^{-1}(v))) + \varphi^{-1}(g(\Phi) \varphi(\varphi^{-1}(w)) )[/mm]
[mm] \stackrel{(\*)}{=} f(\gamma) (\varphi^{-1}(v)) + g(\gamma)(\varphi^{-1}(w))[/mm]
[mm] = f(\gamma)(\Psi(v)) + g(\gamma)(\Psi(w))[/mm]
[mm]= f \cdot \Psi(v) + g \cdot \Psi(w)[/mm],
womit alles gezeigt wäre.
Ist dir die Gleichheit bei (*) klar? Das müsste man streng genommen noch zeigen, ist aber "anschaulich" völlig klar:
Aus [mm] $\varphi^{-1}\Phi\varphi [/mm] = [mm] \gamma$ [/mm] folgt auch [mm] $\varphi^{-1}f(\Phi)\varphi [/mm] = [mm] f(\gamma)$ [/mm] für alle Polynome $f [mm] \in \IK[X]$.
[/mm]
Ich überlasse dir den genauen Beweis an dieser Stelle.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> c) Ist [mm]B=(v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V und
> [mm]A:=M_B(\Phi)\inK^{nxn}[/mm], so gilt
> [mm]V_{\Phi}\cong_RR^{nx1}/SM(XE_n-A)[/mm].
Hier verstehe ich die Schreibweise nicht. Es wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.
Liebe Grüße
Stefan
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