R-Integral mit character. Funk < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Sa 02.07.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | A ist eine beliebige Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\chi_A(x):\IR\to\IR$ [/mm] die charakteristische Funktion von A mit:
[mm] $\chi_A(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{für }x\in A\mbox{ } \\
0, & \mbox{für }x\not\in A\mbox{ }
\end{matrix}\right.$
[/mm]
Die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] heißt R-integr auf A, wenn es [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] gibt mit [mm] $A\subset[a,b]$ [/mm] und [mm] $f*\chi_A(x)$ [/mm] auf [mm] $\([a,b]$ [/mm] R-integr ist. Wir definieren in diesem Fall das Integral von [mm] $\(f$ [/mm] über [mm] $\(A$ [/mm] wie folgt:
[mm] $\int_{A}^{} f(x)\, dx:=\integral_{a}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx$
Zeigen sie:
Falls [mm] $A\subset[a,b]$ [/mm] , [mm] $A\subset[a',b']$ [/mm] und [mm] $f*\chi_A(x)$ [/mm] auf [a,b] R-integr. so ist [mm] $f*\chi_A(x)$ [/mm] auch auf $[a',b']$ R-integr. und es ist:
[mm] $\integral_{a}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, dx=\integral_{a'}^{b'} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx$ |
Hallo liebes Forum ;)
Ich habe folgende Idee zu dieser Aufgabe:
Ich weiß, dass wenn eine Funktion auf [mm] $\([a,b]$ [/mm] R-integr. ist, gilt : [mm] $\limes_{\omega\rightarrow b}\integral_{a}^{\omega} f(x)\, dx=\integral_{a}^{b} f(x)\, [/mm] dx$
Da jetzt die Menge [mm] $\(A$ [/mm] offensichtlich eine beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist, besitzt sie also ein Infimum/Supremum (bzw Min/Max , inf/Max, Min/supr).
Für den Fall [mm] $\(A$ [/mm] besitzt ein Infimum/Supremum:
Setze [mm] $\xi:=inf\{A\}$ [/mm] und [mm] $\delta:=sup\{A\}$ [/mm] und [mm] $\beta\in [/mm] A$.
So ist:
[mm] $\integral_{a}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, dx=\integral_{a}^{\xi} f(x)*\chi_A(x)\, dx+\limes_{\omega\rightarrow\xi}\integral_{\omega}^{\beta} f(x)*\chi_A(x)\,dx +\limes_{p\rightarrow\delta}dx\integral_{\beta}^{p} f(x)*\chi_A(x)\, dx+\integral_{\delta}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx$
Das erste und das letzte Integral ist offensichtlich 0, da für alle [mm] $\(x$ [/mm] aus [mm] $[a,\xi]$ [/mm] bzw [mm] $x\in[\delta,b]$ [/mm] gilt: [mm] $x\not\in [/mm] A [mm] \gdw \chi_A(x)=0$ [/mm] Die beiden Integrale in der Mitte fasse ich zu [mm] $\integral_{\xi}^{\delta} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx$ zusammen.
Das gleiche Spiel mach ich dann einfach mit dem Intervall $[a',b']$. Da auch hier bis [mm] $\xi$ [/mm] und ab [mm] $\delta$ [/mm] die Funktion konstant 0 ist und damit R-integrierbar (weil Stetig) folgt daraus:
[mm] $\integral_{a}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, dx=\integral_{\xi}^{\delta} f(x)*\chi_A(x)\, dx=\integral_{a'}^{b'} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx$
Wenn die Argumentation von mir stimmen würde, würde ich das dann mit den anderen Fällen ähnlich machen, also angenommen A hätte Min/Max; Min/sup, inf/Max.
Ist das so in Ordnung oder habe irgendwie was falsch verstanden? Kommt mir so wenig Sinnvoll vor, das zu zeigen.
Vielen Dank und lg :)
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Huhu,
deine Idee ist ok, einzig der Sinn der Grenzwerte in der Zerlegung erschließt sich mir noch nicht ganz.
> Da jetzt die Menge [mm]\(A[/mm] offensichtlich eine beschränkte
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist, besitzt sie also ein
> Infimum/Supremum (bzw Min/Max , inf/Max, Min/supr).
>
> Für den Fall [mm]\(A[/mm] besitzt ein Infimum/Supremum:
>
> Setze [mm]\xi:=inf\{A\}[/mm] und [mm]\delta:=sup\{A\}[/mm] und [mm]\beta\in A[/mm].
Jop.
> So ist:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, dx=\integral_{a}^{\xi} f(x)*\chi_A(x)\, dx+\limes_{\omega\rightarrow\xi}\integral_{\omega}^{\beta} f(x)*\chi_A(x)\,dx +\limes_{p\rightarrow\delta}dx\integral_{\beta}^{p} f(x)*\chi_A(x)\, dx+\integral_{\delta}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, dx[/mm]
Die Zerlegung mein ich, warum nicht gleich:
[mm] $\integral_{a}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{\xi} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx + [mm] \integral_{\xi}^{\delta} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx + [mm] \integral_{\delta}^{b} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx = 0 + [mm] \integral_{\xi}^{\delta} f(x)*\chi_A(x)\, [/mm] dx + 0$
Naja, und das ist für jedes kompakte Intervall, dass A überdeckt, gleich.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 04.07.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo Danke für deine Antwort!!
Also die Grenzwerte habe ich deswegen, weil ich ja davon ausgehe, dass die Menge A nur ein Supremum [mm] ($\delta$) [/mm] bzw ein Infimum [mm] ($\xi$). [/mm] Die sind ja dann nicht Element von A, also wollte ich das quasi dadurch zeigen, dass ich die Grenzwerte davor schreibe. Das Beta habe ich dann deswegen eingefügt, weil ich nicht insgesamt zwei Grenzwerte (für die obere und untere Grenze) haben wollte.
Rein formal gesehen ist das aber i.O.?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß
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Huhu,
> Also die Grenzwerte habe ich deswegen, weil ich ja davon
> ausgehe, dass die Menge A nur ein Supremum ([mm]\delta[/mm]) bzw ein
> Infimum ([mm]\xi[/mm]). Die sind ja dann nicht Element von A
das macht beim Riemann-Integral aber gar nix. Dort kannst du ja endlich viele Punkte hinzunehmen, ohne den Wert des Integrals zu ändern.
Insbesondere ist der Wert beim [mm] \inf [/mm] oder [mm] \sup [/mm] ja eh Null, wenns nicht dazugehört.
> Rein formal gesehen ist das aber i.O.?
Hm... ja, aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen....
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mo 04.07.2011 | | Autor: | nhard |
Alles klar, dankeschön :)
Schönen Abend noch
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