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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Fr 22.02.2008
Autor: hasso

hallo, kann mir jemand bei dieser schwirigkeit helfen .. Ich möchte von dieser Funktion die ersten beiden Ableitungen machen für die Kurvendisskussion. Ich versteh nur nicht bei der Qoutientenregel wie das mit dem Nenner funktioniert der wird ja irgendwie dann ^2 genommen  und in der 2 Ableitung ^3 oder?? muss man das dann auch immer ausmultiplitzieren ?

Hier beispiel:

gegeben sei: F(x)= [mm] \bruch{x^3-3x+4}{x^2-4} [/mm]

f(x)'= [mm] \bruch{(3x^2-6x)*(x^2-4)-2x*(x^3-3x^2+4)}{(x^2-4)^2} [/mm]

nun jetzt den Zähler ausmultiplitzieren :..
Den Nenner hab ich dann mit der Binomischen Formel ausmultiplitziert.

f'(x)= [mm] \bruch{3x^4-12x^2-6x^3+24x-2x^4+6x^^3-8x}{x^4-8x^2+16} [/mm]

Zusammenfassen
f'(x)= [mm] \bruch{x^4-12x^2+16x}{x^4-8x^2+16} [/mm]

die erste Ableitung dann null stellen :

[mm] x^4-12x^2+16x=0 [/mm]
mit dem Substitionsverfahren.

[mm] z^2-12z+16 [/mm]

Und dann P/q FOrmel angewandt und die Nullstellen ermittelt x1=3,3 Minima x2=1 Minima


Wenn ich jetzt die 2 Ableitung machen würde müsst ich dann im Nenner [mm] x^3 [/mm] machen ??? und ausmultiplitzieren ?


gruß hasso

        
Bezug
Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Fr 22.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> hallo, kann mir jemand bei dieser schwirigkeit helfen ..
> Ich möchte von dieser Funktion die ersten beiden
> Ableitungen machen für die Kurvendisskussion. Ich versteh
> nur nicht bei der Qoutientenregel wie das mit dem Nenner
> funktioniert der wird ja irgendwie dann ^2 genommen  und in
> der 2 Ableitung ^3 oder?? muss man das dann auch immer
> ausmultiplitzieren ?
>  

Das hast du etwas komisch formuliert dass der Nenner 2. Ableitung ^3 genommen wird. das ist nicht richtig. Also die Quotientenregel lautet. [mm] f'(x)=\bruch{u'v-uv'}{v^{2}} [/mm]

> Hier beispiel:
>  
> gegeben sei: F(x)= [mm]\bruch{x^3-3x+4}{x^2-4}[/mm]
>  
> f(x)'=
> [mm]\bruch{(3x^2-6x)*(x^2-4)-2x*(x^3-3x^2+4)}{(x^2-4)^2}[/mm]

[notok]
Die erste Ableitung lautet: [mm] f'(x)=\bruch{(3x²-3)(x²-4)-2x(x³-3x+4)}{(x²-4)²} [/mm] und jetzt den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen. Der Nenner muss nicht unbedingt mit der binomischen Formel ausmultipliziert werden. Ich persönlich würde ihn so stehen lassen wie er ist.

>  
> nun jetzt den Zähler ausmultiplitzieren :..
>  Den Nenner hab ich dann mit der Binomischen Formel
> ausmultiplitziert.
>  
> f'(x)=
> [mm]\bruch{3x^4-12x^2-6x^3+24x-2x^4+6x^^3-8x}{x^4-8x^2+16}[/mm]
>  
> Zusammenfassen
>  f'(x)= [mm]\bruch{x^4-12x^2+16x}{x^4-8x^2+16}[/mm]
>  
> die erste Ableitung dann null stellen :
>  
> [mm]x^4-12x^2+16x=0[/mm]
> mit dem Substitionsverfahren.
>  

[notok] Das klappt hier nicht!!! [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c [/mm] hier kann man substituieren. Bei deiner Funktion haben wir noch ein "x". Also KEIN substitutionsverfahren. ausklammern und dann Polynomdivision

> [mm]z^2-12z+16[/mm]
>  
> Und dann P/q FOrmel angewandt und die Nullstellen ermittelt
> x1=3,3 Minima x2=1 Minima
>  
>
> Wenn ich jetzt die 2 Ableitung machen würde müsst ich dann
> im Nenner [mm]x^3[/mm] machen ??? und ausmultiplitzieren ?
>  
>
> gruß hasso

Korrigier erst einmal deine Ableitung. Um Extrema herauszufinden musst du die erste Ableitung null setzen und die "nullstellen" berechnen. das was da raus kommt sind nur kandidaten sie sagen dir noch nichts darüber aus on dort ein Minima oder Maxima vorliegt. dazu benötigt man die 2. Ableitung.

[cap] Gruß


Bezug
                
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Fr 22.02.2008
Autor: hasso


> Hallo!
>  
> > hallo, kann mir jemand bei dieser schwirigkeit helfen ..
> > Ich möchte von dieser Funktion die ersten beiden
> > Ableitungen machen für die Kurvendisskussion. Ich versteh
> > nur nicht bei der Qoutientenregel wie das mit dem Nenner
> > funktioniert der wird ja irgendwie dann ^2 genommen  und in
> > der 2 Ableitung ^3 oder?? muss man das dann auch immer
> > ausmultiplitzieren ?
>  >  
> Das hast du etwas komisch formuliert dass der Nenner 2.
> Ableitung ^3 genommen wird. das ist nicht richtig. Also die
> Quotientenregel lautet. [mm]f'(x)=\bruch{u'v-uv'}{v^{2}}[/mm]
>  > Hier beispiel:

>  >  
> > gegeben sei: F(x)= [mm]\bruch{x^3-3x^2+4}{x^2-4}[/mm]

Sorry jetzt hab ichs korrigiert hatte das [mm] x^2 [/mm] vergessen somit müsste die FUnktion jetzt richtig sein.

> > f(x)'=
> > [mm]\bruch{(3x^2-6x)*(x^2-4)-2x*(x^3-3x^2+4)}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  [notok]
>  Die erste Ableitung lautet:
> [mm]f'(x)=\bruch{(3x²-3)(x²-4)-2x(x³-3x+4)}{(x²-4)²}[/mm] und jetzt
> den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen. Der Nenner
> muss nicht unbedingt mit der binomischen Formel
> ausmultipliziert werden. Ich persönlich würde ihn so stehen
> lassen wie er ist.
>  >  
> > nun jetzt den Zähler ausmultiplitzieren :..
>  >  Den Nenner hab ich dann mit der Binomischen Formel
> > ausmultiplitziert.
>  >  
> > f'(x)=
> > [mm]\bruch{3x^4-12x^2-6x^3+24x-2x^4+6x^^3-8x}{x^4-8x^2+16}[/mm]
>  >  
> > Zusammenfassen
>  >  f'(x)= [mm]\bruch{x^4-12x^2+16x}{x^4-8x^2+16}[/mm]
>  >  
> > die erste Ableitung dann null stellen :
>  >  
> > [mm]x^4-12x^2+16x=0[/mm]
> > mit dem Substitionsverfahren.
>  >  
> > [mm]z^2-12z+16[/mm]
>  >  
> > Und dann P/q FOrmel angewandt und die Nullstellen ermittelt
> > x1=3,3 Minima x2=1 Minima
>  >  
> >
> > Wenn ich jetzt die 2 Ableitung machen würde müsst ich dann
> > im Nenner [mm]x^3[/mm] machen ??? und ausmultiplitzieren ?
>  >  
> >
> > gruß hasso
>
> Korrigier erst einmal deine Ableitung. Um Extrema
> herauszufinden musst du die erste Ableitung null setzen und
> die "nullstellen" berechnen. das was da raus kommt sind nur
> kandidaten sie sagen dir noch nichts darüber aus on dort
> ein Minima oder Maxima vorliegt. dazu benötigt man die 2.
> Ableitung.

Achja...mann muss ja jetzt erstmal die 2 x Werte in der ausgangsfunktion setzen.

[mm] F(x)=x^4-12x^2+16x [/mm]
F(3,3)=40,7
F(1)=5

SO und in die 2 Ableitung muss ungleich null sein. also muss größer als null sein.

f'(x)= [mm] \bruch{x^4-12x^2+16x}{x^2-4} [/mm]

f''(x)= [mm] \bruch{4x^3-24x+16*(x^2-4)-2x(x^4-12x^2+16x)}{(x^2-4)^2} [/mm]


So ? und und nun zusammen fassen.. aber schau mal bitte drüber ob ich das so richtig mache..

Gruß hasso

Bezug
                        
Bezug
Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Fr 22.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Also jetzt heisst die Funktion: [mm] f(x)=\bruch{x³-3x²+4}{x²-4} [/mm]

Demnach ist deine Ableitung richtig Also haben wir [mm] f'(x)=\bruch{x^{4}-12x²+16x}{(x²-4)²} [/mm]
Die zweite Ableitung [mm] lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}. [/mm]

Nun zur Bestimmung der Extrema:
1. notwendige Bedingung: f'(x)=0
[mm] x^{4}-12x²+16x=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x(x³-12x+16)=0
[mm] \Rightarrow x_{E_{1}}=0 [/mm] und x³-12x+16=0 Hier kommst du mit Polynomdivision weiter. Ich erhalte weiter Kandidaten, nämlich [mm] x_{E_{2}}=2 [/mm] und [mm] x_{E_{3}}=-4 [/mm]
2. hinreichende Bedingung: [mm] f''(x)\not=0 [/mm]
Nun setzt du die Kandidaten in die 2. Ableitung ein und schaust was da raus kommt. Es gilt: f''(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt, nämlich [mm] HP(x_{E}|y). [/mm] Den y-Wert findest du indem du den Kandidaten in die Ausgangsfunktion einsetzt.
Ist f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt, also [mm] TP(x_{E}|y) [/mm]

>  
> Achja...mann muss ja jetzt erstmal die 2 x Werte in der
> ausgangsfunktion setzen.
>  
> [mm]F(x)=x^4-12x^2+16x[/mm]
>  F(3,3)=40,7
>  F(1)=5
>  

??? Was hast du hier gemacht?

> SO und in die 2 Ableitung muss ungleich null sein. also
> muss größer als null sein.

[ok] siehe oben was ich zu den Extrema geschrieben habe :-). Gehe so vor wie ich es dir geschildert habe.

> f'(x)= [mm]\bruch{x^4-12x^2+16x}{x^2-4}[/mm]
>  
> f''(x)=
> [mm]\bruch{4x^3-24x+16*(x^2-4)-2x(x^4-12x^2+16x)}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  

[notok] Siehe oben wie ich die 2. Ableitung bestimmt habe.

>
> So ? und und nun zusammen fassen.. aber schau mal bitte
> drüber ob ich das so richtig mache..
>  
> Gruß hasso

[cap] Gruß


Bezug
                                
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:12 Sa 23.02.2008
Autor: hasso


> Hallo!
>  
> Also jetzt heisst die Funktion:
> [mm]f(x)=\bruch{x³-3x²+4}{x²-4}[/mm]
>  
> Demnach ist deine Ableitung richtig Also haben wir
> [mm]f'(x)=\bruch{x^{4}-12x²+16x}{(x²-4)²}[/mm]
>  Die zweite Ableitung
> [mm]lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}.[/mm]

[red]
hey.. das versteh ich irgendwie nicht ganz wir haben

u(x)= [mm] x^4-12x^2+16x [/mm]
erste ABLEITUNG wär: 4x³-24x+16

v(x)=(x²-4)²
die ABleitung hast du dann mit der Kettenregel gemacht nicht wahr?
wär das dann
[mm] 2(x^2-4)2x [/mm]
Muss man die 2 die vor der ersten klammer steht mit der 2x multiplitzieren oder wie?

Ich komm aber nicht wie bei dir auf :
= 4x(x²-4)
[red/]

> Nun zur Bestimmung der Extrema:
>  1. notwendige Bedingung: f'(x)=0
>  [mm]x^{4}-12x²+16x=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] x(x³-12x+16)=0
>  [mm]\Rightarrow x_{E_{1}}=0[/mm] und x³-12x+16=0 Hier kommst du mit
> Polynomdivision weiter. Ich erhalte weiter Kandidaten,
> nämlich [mm]x_{E_{2}}=2[/mm] und [mm]x_{E_{3}}=-4[/mm]
>  2. hinreichende Bedingung: [mm]f''(x)\not=0[/mm]
>  Nun setzt du die Kandidaten in die 2. Ableitung ein und
> schaust was da raus kommt. Es gilt: f''(x)<0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Hochpunkt, nämlich [mm]HP(x_{E}|y).[/mm] Den y-Wert findest du indem
> du den Kandidaten in die Ausgangsfunktion einsetzt.
>  Ist f''(x)>0 [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt, also [mm]TP(x_{E}|y)[/mm]
>  
> >  

> > Achja...mann muss ja jetzt erstmal die 2 x Werte in der
> > ausgangsfunktion setzen.
>  >  
> > [mm]F(x)=x^4-12x^2+16x[/mm]
>  >  F(3,3)=40,7
>  >  F(1)=5
>  >  
> ??? Was hast du hier gemacht?
>  > SO und in die 2 Ableitung muss ungleich null sein. also

> > muss größer als null sein.
>   [ok] siehe oben was ich zu den Extrema geschrieben habe
> :-). Gehe so vor wie ich es dir geschildert habe.
>  > f'(x)= [mm]\bruch{x^4-12x^2+16x}{x^2-4}[/mm]


gruß hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:44 Sa 23.02.2008
Autor: Zneques

Hallo,

> wär das dann [mm] 2(x^2-4)2x [/mm]

Korrekt.

[mm] 2(x^2-4)2x=2*(x^2-4)*2x=2*2x*(x^2-4)=2*2*x*(x^2-4)=4*x*(x^2-4)=4x(x^2-4) [/mm]
Faktoren kann man vertauschen.

Ciao.

Bezug
                                        
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:13 Sa 23.02.2008
Autor: hasso


> > Hallo!
>  >  
> > Also jetzt heisst die Funktion:
> > [mm]f(x)=\bruch{x³-3x²+4}{x²-4}[/mm]
>  >  
> > Demnach ist deine Ableitung richtig Also haben wir
> > [mm]f'(x)=\bruch{x^{4}-12x²+16x}{(x²-4)²}[/mm]
>  >  Die zweite Ableitung
> >
> [mm]lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}.[/mm]
>  
>
> hey.. das versteh ich irgendwie nicht ganz wir haben
>
> u(x)= [mm]x^4-12x^2+16x[/mm]
> erste ABLEITUNG wär: 4x³-24x+16
>
> v(x)=(x²-4)²
> die ABleitung hast du dann mit der Kettenregel gemacht
> nicht wahr?
> wär das dann
> [mm]2(x^2-4)2x[/mm]
> Muss man die 2 die vor der ersten klammer steht mit der 2x
> multiplitzieren oder wie?
>
> Ich komm aber nicht wie bei dir auf :
> = 4x(x²-4)
> [red/]
>
> > Nun zur Bestimmung der Extrema:
> >  1. notwendige Bedingung: f'(x)=0

> >  [mm]x^{4}-12x²+16x=0[/mm]

> >  [mm]\Rightarrow[/mm] x(x³-12x+16)=0

> >  [mm]\Rightarrow x_{E_{1}}=0[/mm] und x³-12x+16=0 Hier kommst du

> mit
> > Polynomdivision weiter. Ich erhalte weiter Kandidaten,
> [red]> nämlich [mm]x_{E_{2}}=2[/mm] und [mm][mm] x_{E_{3}}=-4[/mm [/mm]

Um eine Polynomdivision durchführen zu können musst du doch doch mind. eine Nullstelle kennen. DU hast x ausgeklammert .. inwiefern hilft mir das weiter ?  

> >  2. hinreichende Bedingung: [mm]f''(x)\not=0[/mm]

> >  Nun setzt du die Kandidaten in die 2. Ableitung ein und

> > schaust was da raus kommt. Es gilt: f''(x)<0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> > Hochpunkt, nämlich [mm]HP(x_{E}|y).[/mm] Den y-Wert findest du indem
> > du den Kandidaten in die Ausgangsfunktion einsetzt.
> >  Ist f''(x)>0 [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt, also [mm]TP(x_{E}|y)[/mm]

> >  

> > >  

> > > Achja...mann muss ja jetzt erstmal die 2 x Werte in der
> > > ausgangsfunktion setzen.
> >  >  

> > > [mm]F(x)=x^4-12x^2+16x[/mm]
> >  >  F(3,3)=40,7

> >  >  F(1)=5

> >  >  

> > ??? Was hast du hier gemacht?
> >  > SO und in die 2 Ableitung muss ungleich null sein.

> also
> > > muss größer als null sein.
> >   [ok] siehe oben was ich zu den Extrema geschrieben

> habe
> > :-). Gehe so vor wie ich es dir geschildert habe.
> >  > f'(x)= [mm]\bruch{x^4-12x^2+16x}{x^2-4}[/mm]

> gruß hasso


Bezug
                                                
Bezug
Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:48 Sa 23.02.2008
Autor: Zneques

Puh, ich hoffe mal ich habe die richtige Frage gefunden.

[mm] x^4-12x^2+16x=0 [/mm] , mit [mm] x^{4}-12x²+16x=x(x^3-12x+16) [/mm] folgt
[mm] x(x^3-12x+16)=0 [/mm] , wegen (Produkt ist 0 [mm] \gdw [/mm]  min. ein Faktor ist 0) gilt
[mm] x_{E_1}=0 [/mm] (erste Nullstelle), oder
[mm] x^3-12x+16=0 [/mm] , per Polynomdivision
Dazu braucht man, wie du erkannt hast, eine Nullstelle.
Da der größte Exponent (Grad des Polynoms) [mm] \ge [/mm] 3, muss diese geraten, oder mit Näherungsverfahren bestimmt werden.
Wenn man weiß, dass es nur ganzzahlige Nullstellen gibt, dann müssen diese alle Teiler der Konstanten sein. (16=2*2*2*2)
Also mal [mm] \pm1, \pm2, \pm4, [/mm] ... einsetzen. (+2 geht)

Ciao.

Bezug
                                                        
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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:58 Sa 23.02.2008
Autor: hasso

hii

> Puh, ich hoffe mal ich habe die richtige Frage gefunden.
>  
> [mm]x^4-12x^2+16x=0[/mm] , mit [mm]x^{4}-12x²+16x=x(x^3-12x+16)[/mm] folgt
>  [mm]x(x^3-12x+16)=0[/mm] , wegen (Produkt ist 0 [mm]\gdw[/mm]  min. ein
> Faktor ist 0) gilt
>  [mm]x_{E_1}=0[/mm] (erste Nullstelle), oder
>  [mm]x^3-12x+16=0[/mm] , per Polynomdivision
>  Dazu braucht man, wie du erkannt hast, eine Nullstelle.
>  Da der größte Exponent (Grad des Polynoms) [mm]\ge[/mm] 3, muss
> diese geraten, oder mit Näherungsverfahren bestimmt
> werden.
>  Wenn man weiß, dass es nur ganzzahlige Nullstellen gibt,
> dann müssen diese alle Teiler der Konstanten sein.
> (16=2*2*2*2)
>  Also mal [mm]\pm1, \pm2, \pm4,[/mm] ... einsetzen. (+2 geht)

Konstante sind die wo kein x davor steht nicht wahr?

das versteh ich nicht so ganz du hast 2*2*2*2 das ergibt 16 warum nicht 4*4 oder ?? dann wär bei x+4 eine nullstelle ?

könntest du das etwas ausführlicher erklären wär dir voll dankbar!!

gruß hasso

Bezug
                                                                
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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:26 Sa 23.02.2008
Autor: Zneques

16=2*2*2*2 ist die Primfaktorzerlegung von 16.
Alle Teiler von 16 müssen ein Produkt aus einigen dieser Zahlen sein.

1 teilt alles
2=2
4=2*2
8=2*2*2
und 16=2*2*2*2
Dazu kommen dann noch jeweils die Negativen, da z.B. (-2)*(-8)=16

Wenn alle n Nullstellen [mm] \in\IR [/mm] existieren, dann gilt:
[mm] p(x)=a(x-x_{0_1})(x-x_{0_2})...(x-x_{0_n})=a*x^n+...\pm\underbrace{a*x_{0_1}*x_{0_2}*...*x_{0_n}}_{Konstante} [/mm]

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Sa 23.02.2008
Autor: Mubidoo

Hi Hasso,

Um es nochmal ganz klar auszudrücken. Die Konstante ist 16 (ohne die unabhängige Variable x). Diese Konstante hat folgende ganzzahlige Teiler : 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, und -16.
Setze diese Teiler in den Zähler der ersten Ableitung ein. Kommt ein Widerspruch raus, wäre an dieser Stelle ein Extrema auszuschliessen. Erhälst genau 0, dann wäre dies ein mögliches Extrema. Wenn Du eine mögliche Nullstelle beispielsweise 6(frei erfunden, bitte selber machen!) gefunden hast, teilst Du die ganze Gleichung durch das Binom (x-6) <-- baechte hier das VZW.
Die Gleichung, die Du dann erhälst, wird quadratisch sein, welche Du erneut auf Nulstellen überprüfen musst (pq-Formel oder Satz von Vieta). Um zu erfahren, ob es sich wirklich um ein Extrema handelt musst Du genau diesen Wert in die zweite Ableitung einsetzen, ist das Ergebnis :
= 0 kein Extrema

> 0 Tiefpunkt

< 0 Hochpunkt
Den genauen Wert erhälst Du, wenn Du Deine HP(s) und TP(s) in F(x) einsetzt.


PS.: Wenn Du Dich daran hälst bekommst Du tatsächlich alle HPs und TPs raus, weil diese bei der Funktion in der Tat ganzzahlig sind (habs mit meinem Matheprogramm überprüft)


Viel Spass !
Mubidoo

Bezug
                                                                        
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Sa 23.02.2008
Autor: hasso

Hallo Mubido

> Um es nochmal ganz klar auszudrücken. Die Konstante ist 16
> (ohne die unabhängige Variable x). Diese Konstante hat
> folgende ganzzahlige Teiler : 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8,
> 16, und -16.
>  Setze diese Teiler in den Zähler der ersten Ableitung ein.
> Kommt ein Widerspruch raus, wäre an dieser Stelle ein
> Extrema auszuschliessen. Erhälst genau 0, dann wäre dies
> ein mögliches Extrema. Wenn Du eine mögliche Nullstelle
> beispielsweise 6(frei erfunden, bitte selber machen!)
> gefunden hast, teilst Du die ganze Gleichung durch das
> Binom (x-6) <-- baechte hier das VZW.
>  Die Gleichung, die Du dann erhälst, wird quadratisch sein,
> welche Du erneut auf Nulstellen überprüfen musst (pq-Formel
> oder Satz von Vieta). Um zu erfahren, ob es sich wirklich
> um ein Extrema handelt musst Du genau diesen Wert in die
> zweite Ableitung einsetzen, ist das Ergebnis :
>  = 0 kein Extrema
>  > 0 Tiefpunkt

>  < 0 Hochpunkt
>  Den genauen Wert erhälst Du, wenn Du Deine HP(s) und TP(s)
> in F(x) einsetzt.
>  
>
> PS.: Wenn Du Dich daran hälst bekommst Du tatsächlich alle
> HPs und TPs raus, weil diese bei der Funktion in der Tat
> ganzzahlig sind (habs mit meinem Matheprogramm überprüft)

Danke ich versuchs!
Also so wie du sagtest die Teiler von 16 setzte ich alle in der 1 Ableitung von dem Zähler für x ein? erhält man nicht so ein y Wert?
Aso stimmt wenn ich für den X wert eine Y=0 Erhalte ist dort eine Nullstelle!?

Ich habe bei der FUnktion
F(x)= [mm] x^4-12x^2+16x [/mm]
Ich habe für die X-Werte "2" und "4" 2 nullstellen ermitteln können
F(2)=0
F(-4)=0

Bei den anderen zahlen kam ich jeweils auf keien Nullstelle Kann ich nun mit einer dieser Beliebiegen Nullstelle eine Polynomdivison durchführen und das Polynom ^3 grades ermitteln? du meintest ich bekomm ein Polynom 2 grades ?

DIe P/q formel könnt ich dann anwenden
gruß hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Sa 23.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Ausgegangen wird vom Polynom [mm] x^{4}-12x^{2}+16x [/mm]
Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm] x_{0_{1}}=0 [/mm] denn [mm] x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw [/mm] x=0.
So jetzt haben wir das Polynom [mm] x^{3}-12x+16=0 [/mm] Hier hast du richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb. [mm] x_{0_{2}}=2 [/mm]
Also wenden wir die Polynomdivision an: [mm] (x^{3}-12x+16):(x-2)=.... [/mm]
Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst) bestimmen.

[cap] Gruß

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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Sa 23.02.2008
Autor: hasso


> Hallo!
>  
> Ausgegangen wird vom Polynom [mm]x^{4}-12x^{2}+16x[/mm]
>  Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm]x_{0_{1}}=0[/mm] denn
> [mm]x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw[/mm] x=0.
>  So jetzt haben wir das Polynom [mm]x^{3}-12x+16=0[/mm] Hier hast du
> richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb.
> [mm]x_{0_{2}}=2[/mm]
>  Also wenden wir die Polynomdivision an:
> [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=....[/mm]


[mm] (x^{3}-12x+16):(x-2)=x^2-2x-16 [/mm]
Mit der P/q Formel hab ich dannn die x Werte 5,123 x2 -3,123

DIe sind aber nicht richtig glaub ich was mach ich denn falsch?

>  Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und
> die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel
> oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst)
> bestimmen.
>  

gruß hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Sa 23.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> > Hallo!
>  >  
> > Ausgegangen wird vom Polynom [mm]x^{4}-12x^{2}+16x[/mm]
>  >  Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm]x_{0_{1}}=0[/mm] denn
> > [mm]x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw[/mm] x=0.
>  >  So jetzt haben wir das Polynom [mm]x^{3}-12x+16=0[/mm] Hier hast
> du
> > richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb.
> > [mm]x_{0_{2}}=2[/mm]
>  >  Also wenden wir die Polynomdivision an:
> > [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=....[/mm]
>  
>
> [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=x^2-2x-16[/mm]

[notok]

>   Mit der P/q Formel hab ich dannn die x Werte 5,123 x2
> -3,123
>  
> DIe sind aber nicht richtig glaub ich was mach ich denn
> falsch?
>  
> >  Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und

> > die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel
> > oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst)
> > bestimmen.
>  >  
> gruß hasso

Es ist:
(x³-12x+16):(x-2)=x²+2x-8
[mm] \underline{-(x³-2x²)} [/mm]
     2x²
[mm] \underline{-(-2x²+4x)} [/mm]
      -8x
[mm] \underline{-(-8x+16)} [/mm]
       0
Und jetzt x²+2x-8=0
Mit hilfe der pqForemel. Damit sollten sich zwei ganzrationale Nullstellen finden.

[cap] Gruß

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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 23.02.2008
Autor: hasso

hi

> > > Ausgegangen wird vom Polynom [mm]x^{4}-12x^{2}+16x[/mm]
>  >  >  Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm]x_{0_{1}}=0[/mm] denn
> > > [mm]x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw[/mm] x=0.
>  >  >  So jetzt haben wir das Polynom [mm]x^{3}-12x+16=0[/mm] Hier
> hast
> > du
> > > richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb.
> > > [mm]x_{0_{2}}=2[/mm]
>  >  >  Also wenden wir die Polynomdivision an:
> > > [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=....[/mm]
>  >  
> >
> > [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=x^2-2x-16[/mm]
>  
> [notok]
>  >   Mit der P/q Formel hab ich dannn die x Werte 5,123 x2
> > -3,123
>  >  
> > DIe sind aber nicht richtig glaub ich was mach ich denn
> > falsch?
>  >  
> > >  Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und

> > > die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel
> > > oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst)
> > > bestimmen.
>  >  >  
> > gruß hasso
>
> Es ist:
> (x³-12x+16):(x-2)=x²+2x-8
>  [mm]\underline{-(x³-2x²)}[/mm]
>       2x²
>  [mm]\underline{-(-2x²+4x)}[/mm]
>        -8x
>  [mm]\underline{-(-8x+16)}[/mm]
>         0
>  Und jetzt x²+2x-8=0
>  Mit hilfe der pqForemel. Damit sollten sich zwei
> ganzrationale Nullstellen finden.

Ich hatte mich mit ein Vorzeichen vertan dann wurd auch das Ergebnis falscg :( auf jeden fall hab ich das jetzt gemacht und hab als Nullstellen x1= 4 x2= 2
Das heisst wir haben schonmal 2 Nullstellen die dritte nullstelle hatten wir oben ermittelt die war -2 womit wir die Polynomdivision durchgeführt hatten. Das sind alle Nullstellen der 1 Ableitung oder?

schau mal bitte auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

dort kann man eine FUnktion eingeben und man erhält alle Nullstellen.. dort sind aber andere Nullstellen wenn wir die Fûnktion

[mm] x^4-12x^2+16x [/mm] eingebe

Gruß
hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Sa 23.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

>  
> Ich hatte mich mit ein Vorzeichen vertan dann wurd auch das
> Ergebnis falscg :( auf jeden fall hab ich das jetzt gemacht
> und hab als Nullstellen x1= 4 x2= 2
>  Das heisst wir haben schonmal 2 Nullstellen die dritte
> nullstelle hatten wir oben ermittelt die war -2 womit wir
> die Polynomdivision durchgeführt hatten. Das sind alle
> Nullstellen der 1 Ableitung oder?
>  

ja aber du darfst die 0 nicht vergessen. wir haben ja ein x ausgeklammert. demnach haben wir 4 Nullstellen. :-)

> schau mal bitte auf der Seite
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
>  
> dort kann man eine FUnktion eingeben und man erhält alle
> Nullstellen.. dort sind aber andere Nullstellen wenn wir
> die Fûnktion

[notok]  habe ich gemacht. Dort erhalte ich 4 Nullstellen. [mm] x_{1}=-4, x_{2}=0, x_{3}=2 [/mm] und [mm] x_{4}=2 [/mm] Also genau die selben Nullstellen die wir errechnet haben

>
> [mm]x^4-12x^2+16x[/mm] eingebe
>
> Gruß
> hasso

[cap] Gruß


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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Sa 23.02.2008
Autor: hasso


> Hallo!
>  
> >  

> > Ich hatte mich mit ein Vorzeichen vertan dann wurd auch das
> > Ergebnis falscg :( auf jeden fall hab ich das jetzt gemacht
> > und hab als Nullstellen x1= 4 x2= 2
>  >  Das heisst wir haben schonmal 2 Nullstellen die dritte
> > nullstelle hatten wir oben ermittelt die war -2 womit wir
> > die Polynomdivision durchgeführt hatten. Das sind alle
> > Nullstellen der 1 Ableitung oder?
>  >  
> ja aber du darfst die 0 nicht vergessen. wir haben ja ein x
> ausgeklammert. demnach haben wir 4 Nullstellen. :-)
>  > schau mal bitte auf der Seite

> > http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
>  >  
> > dort kann man eine FUnktion eingeben und man erhält alle
> > Nullstellen.. dort sind aber andere Nullstellen wenn wir
> > die Fûnktion
>  
> [notok]  habe ich gemacht. Dort erhalte ich 4 Nullstellen.
> [mm]x_{1}=-4, x_{2}=0, x_{3}=2[/mm] und [mm]x_{4}=2[/mm] Also genau die
> selben Nullstellen die wir errechnet haben
>  >

> > [mm]x^4-12x^2+16x[/mm] eingebe

So jetzt hab ich die X= Werte WO ich eine Nullstelle hatte alle in der FUnktion eingesetzt

Ausgangsfunktion [mm] F(x)x^3-3x^2 [/mm] +4

F(2)=0
F(3)=19
F(1)=-7
F(0)=0

Dann hab ich alle Y Werte erhalten, Was ist dann der HOCHPUNKT TIEFPUNKT MAXIMA MINIMA USW.

Hochpunkt 19 >Tiefpunkt -7

UND maxima -7 und Minima 19 immer das gegenteil vom vorzeichen?

Gruß hasso

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Quotientenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Sa 23.02.2008
Autor: hasso

hallo

mann muss die x Werte in der 2 ABleitung setzten um das Maxima und minima zu berechnen ...

habs gerad gelesen. Was muss man dann in der AUsgangsfunktion setzen?


Gruß hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Sa 23.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Also die Nullstellen der 1. Ableitung setzt du in die 2. Ableitung ein. Dabei musst du natürlich auch den Nenner berücksichtigen.

Ich mach das mal für einen Kandidaten vor.

f''(0)=1>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei TP(0|y)
Den y Wert erhalten wir indem wir die 0 ind die Ausgangsfunktion einsetzen. Also bekommen wir für y den Wert -1 heraus. Demnach lautet dann unser Tiefpunkt TP(0|-1)

Und das ganze machst du auch für die restlichen drei Kandidaten.

[cap] Gruß

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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Sa 23.02.2008
Autor: hasso

Hallo,

F(2)= 0 Der Y WERT IST IM ZÄHLER UND NENNER 0
f''(2)= 0 HOCHPUNKT

F(3) = 4 DER Y WERT IST 4
f''(3) =0,064 [mm] \bruch{8}{125}= [/mm] 0,064 Tiefpunkt

F(0)=-1 DER Y WER IST -1
f''(0)= 1 TIEFPUNKT

HAb ich das so RICHTIG VERSTNADEN
größer >0 = TIEFPUNKT (MAXIMA)
kleiner 0<= HOCHPUNKT (MINIMA)


Und WENDEPUNKT ERMITTLE ICH INDEM ICH DIE 2ABLEITUNG NULL SETZTE

gruß hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Sa 23.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Hallo,
>  
> F(2)= 0 Der Y WERT IST IM ZÄHLER UND NENNER 0
>  f''(2)= 0 HOCHPUNKT
>

Nein die 2. Ableitung muss ungleich null sein. Also kein Extrema. Hier kann ein Sattelpunkt vorliegen. Wenn du dir aber deine Ausgangsfunktion anschaust dann stellst du fest das bei x=2 die Funktion nicht definiert ist. Bei gebrochenrationalen Funktionen ist es immer wichtig dir den Definitionsbereich anzu schauen.

> F(3) = 4 DER Y WERT IST 4
>  f''(3) =0,064 [mm]\bruch{8}{125}=[/mm] 0,064 Tiefpunkt
>  

Woher hast du die 3 her?? Als Kandidaten hatten wir doch nur [mm] x_{1}=2(doppelt), x_{2}=-4 [/mm] und [mm] x_{3}=0 [/mm]

> F(0)=-1 DER Y WER IST -1
>  f''(0)= 1 TIEFPUNKT
>  

[ok] das stimmt. Hier liegt ein Tiefpunkt vor. Die Koordinaten sind TP(0|-1)

> HAb ich das so RICHTIG VERSTNADEN
> größer >0 = TIEFPUNKT (MAXIMA)
> kleiner 0<= HOCHPUNKT (MINIMA)
>  

ja, hast du.

>
> Und WENDEPUNKT ERMITTLE ICH INDEM ICH DIE 2ABLEITUNG NULL
> SETZTE
>  

richtig und die 3. Ableitung muss dann zusätzlich ungleich null sein.

was dir jetzt noch fehlt f''(-4)=... da solltst du einen Hcohpunkt erhalten.

> gruß hasso

[cap] Gruß


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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Sa 23.02.2008
Autor: hasso

Hallo,

Hallo ich würde das gerne in meiner Formelsammslung schreiben, kann jemand nochmal drüber gucken das alles korrekt ist .

Kurvendisskussion
EXTREMA

1 Ableitung Notwendige Bedingung f'(x)= 0
2 Ableitung hinreichende Bedingung f'' ungleich null

X Werte der ersten Ableitung in der Ausgangsfunktion sezten ermittelt die Y Werte.

X Werte in der 2 Ableitung setzten  ermittelt:
>0 Min Tiefpunkt
<0Max Hochpunkt

Extrema liegt vor wenn alle Bedinung Erfüllt sind.
Dann

WENDEPUNKTE

2 Ableitung f''(x)= 0
Die X-Werte der 2 Ableitung sind Die WENDEPUNKTE
3 Ableitung ungleich null!

THANKS!
Gruß hasso

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Quotientenregel: korrekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Sa 23.02.2008
Autor: kaliyanei

"Die X-Werte der 2 Ableitung sind Die WENDEPUNKTE "
Nein, ein x-wert ist immer eine STELLE. Pwende(Xwende, Ywende) ist der Wendepunkt (Ywende = f(Xwende))
Deine rstliche Auflistung ist sofern ich nichts übersehen habe korrekt. Allerdings empfehle ich dir noch eine Zusatz du den WS zu machen - es gibt auch noch Sattelpunkte (aka Horizontalwendepunkte) für f'=0, f''=0, f'''(ungleich) 0.

Hinweis: Hilfreich ist auch ie Krümmungsbetrachtung (Krümmungsintervalle diskutieren):
   f'' < 0 für alle x Element [a;b], also f' monoton im Intervall monoton fallend => der Graph ist rechtsgekrümmt  bzw.konkav(von unten betrachtet)

   f'' > 0 für alle x Element [a;b], also f' monoton im Intervall monoton steigend => der Graph ist linksgekrümmt  bzw.konvex(von unten betrachtet)

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Quotientenregel: kürzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:31 So 24.02.2008
Autor: hasso

abend.....


> Also jetzt heisst die Funktion:
> [mm]f(x)=\bruch{x³-3x²+4}{x²-4}[/mm]
>  
> Demnach ist deine Ableitung richtig Also haben wir
> [mm]f'(x)=\bruch{x^{4}-12x²+16x}{(x²-4)²}[/mm]
>  Die zweite Ableitung
> [mm]lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}.[/mm]

In der FUnktion sind ja an 3 stellen die gleichung [mm] (x^2-4). [/mm]
2 Mal im Zäler und einmal im nenner...

Wenn man kürzt was muss man dann so beachten das man nur die kürzen kann die auch  gleich sind das wars oder ?



gruß hasso

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Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 So 24.02.2008
Autor: angela.h.b.


>  >  Die zweite Ableitung
> >
> [mm]lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}.[/mm]
>  
> In der FUnktion sind ja an 3 stellen die gleichung
> [mm](x^2-4).[/mm]
>  2 Mal im Zäler und einmal im nenner...
>  
> Wenn man kürzt was muss man dann so beachten das man nur
> die kürzen kann die auch  gleich sind das wars oder ?

Hallo,

Deine 2. Ableitung ist richtig, und daß, was Du gekürzt hast, ist auch richtig.

Deine Frage verstehe ich leider nicht so recht.

Kürzen kann man, wenn man im Zähler und Nenner ein Produkt hat, welches denselben Faktor enthält.


Wenn man genau hinschaut, bist Du übrigens noch nicht fertig.

Die 2 ist Nullstelle von Zähler und Nenner in [mm] f''(x)=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}, [/mm]

das bedeutet, daß Du das schreiben kannst als [mm] f''(x)=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}=f''(x)=\bruch{(x-2)(...)}{(x-2)*(...)}. [/mm] Dann kürzen.

Das (...) im Zähler bekommst Du mit Polynomdivision, die hast Du ja neulich geübt, und im Nenner solltest Du die dritte binomische Formel kennen.

Gruß v. Angela

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