Quotientenregel < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 07.12.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | In einem betreibswirtschaftlichen Modell wird angenommen, dass beim Verkauf von x Stück eines Wirtschaftsguts der Gewinn pro Stück [mm] \bruch{1}{1+\wurzel{x}} [/mm] Geldeinheiten beträgt.
a) Zeigen sie, dass der Gewinn pro Stück mit wachsender Stückzahl abnimmt.
b) Zeigen sie, dass der Gesamtgewinn mit wachsender Stückzahl zunimmt. |
Hallo! Ich gehe auf ein Gymnasium in Schleswig-Holstein in die 12 Klasse! Wir haben heute mit der Quotientenregel im Unterricht bekommen und dann diese Aufgabe als Hausaufgabe!
Ich sitzt da schon ziemlich lange dran und komm irgendwie nicht weiter!
Ich verstehe dich Aufgabe grundsätzlich eigentlich schon gar nicht so ganz! Ich habe mal die Ableitung der Funktion gemacht die ist aber etwas kompliziert irgendwie. Ich habe die Funktion zerlegt in [mm] u(x)=\bruch{1}{x} (Ableitung:-\bruch{1}{x²})! [/mm] Und in [mm] v(x)=1+\wurzel{x}( [/mm] Ableitung: [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}})!
[/mm]
Mit der Quotientenregel heißt es ja dann:
[mm] f´(x)=\bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))²}!
[/mm]
Das ganze dann einzusetzen ist kein Problem aber ich kann das mit den ganzen Wurzeln nicht vereinfachen! Könnt mir da jemand helfen! Und selbst wenn ich dann die Ableitung habe, was bringt mir das?
Danke für alle Hilfe!
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Hi, Lisa,
> In einem betreibswirtschaftlichen Modell wird angenommen,
> dass beim Verkauf von x Stück eines Wirtschaftsguts der
> Gewinn pro Stück [mm]\bruch{1}{1+\wurzel{x}}[/mm] Geldeinheiten
> beträgt.
> a) Zeigen sie, dass der Gewinn pro Stück mit wachsender
> Stückzahl abnimmt.
> b) Zeigen sie, dass der Gesamtgewinn mit wachsender
> Stückzahl zunimmt.
> Hallo! Ich gehe auf ein Gymnasium in Schleswig-Holstein in
> die 12 Klasse! Wir haben heute mit der Quotientenregel im
> Unterricht bekommen und dann diese Aufgabe als
> Hausaufgabe!
> die Funktion zerlegt in [mm]u(x)=\bruch{1}{x} (Ableitung:-\bruch{1}{x²})![/mm]
Die kannst Du hier nicht brauchen. Bei der Quotientenregel zerlegt man in
Zähler, bei Dir: u(x) = 1;
und Nenner, bei Dir: 1 + [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Damit hast Du: u'(x) = 0
und v'(x) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm]
> Mit der Quotientenregel heißt es ja dann:
> [mm]f´(x)=\bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))²}![/mm]
> Das ganze dann einzusetzen ist kein Problem aber ich kann
> das mit den ganzen Wurzeln nicht vereinfachen!
Setz' erst mal ein. Vereinfachen kannst Du anschließend eh nur dadurch, dass Du den Doppelbruch "entfernst". Den Nenner aber solltest Du auf keinen Fall ausmultiplizieren!
Bei b) ist m.E. nur u(x)=x zu setzen (und damit u'(x)=1)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Do 07.12.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ok danke!
Dann ist meine neue Ableitung nach dem Einsetzen:
f`(x)= [mm] \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(1+\wurzel{x})²}!
[/mm]
Wie kann ich das noch vereinfachen? Bzw wie beantworte ich jetzt die Fragen? Warum nimmt der Gewinn einmal ab und einmal zu??
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Hi, Lisa,
> Ok danke!
> Dann ist meine neue Ableitung nach dem Einsetzen:
> f'(x)= [mm]\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(1+\wurzel{x})²}![/mm]
Da hast Du das Minuszeichen im Zähler vergessen:
f'(x)= [mm] \bruch{-\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(1+\wurzel{x})²}
[/mm]
Sonst OK!
> Wie kann ich das noch vereinfachen?
Den Doppelbruch "auflösen":
f'(x) = [mm] -\bruch{1}{2\wurzel{x}*(1+\wurzel{x})²}
[/mm]
> Bzw wie beantworte ich jetzt die Fragen?
> Warum nimmt der Gewinn einmal ab und einmal zu??
Die von Dir berechnete Ableitung ist ja offensichtlich negativ.
Zusammen mit meiner "Zusatz"-bemerkung müsste Dir das reichen!
Und bei b) hast Du wie gesagt eine andere Funktion, die Du ebenfalls ableiten musst, nämlich: g(x)=x*f(x).
Und da wirst Du erkennen: g'(x) > 0.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 07.12.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja ok...das hab ich soweit verstanden!
Kann ich diese Ableitung dann noch weiter vereinfachen? Ich glaube nicht! Diese Funktion hat dann einen Hochpunkt an der Stelle x=1000, oder? Das sagt mir zumindenst der Taschenrechner aber irgendwie glaub ich das das nicht stimmt! Die Funktion ist doch durchgängig negativ da ja auch mein Gewinn laut Aufgabenstellung immer abnimmt! Muss ich dann bei b die Ableitung der Ableitung bestimmen? Ich verstehe gerade irgendwie gar nix mehr! Ist grad alles bischen durcheinander bei mir! Sorry, kannst du es vielleicht nochmal ausführlich erklären? Danke!
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Hi, Lisa,
> Ja ok...das hab ich soweit verstanden!
> Kann ich diese Ableitung dann noch weiter vereinfachen?
> Ich glaube nicht! Diese Funktion hat dann einen Hochpunkt
> an der Stelle x=1000, oder?
Welche Funktion meinst Du? f(x)? oder die Ableitung?
Beide besitzen nur ein RAND-Extremum bei x=0.
Kann mir nicht denken, wie Du auf x=1000 kommst; dann müsste ja im Zähler der Ableitung irgendwas mit (x-1000) stehen.
> Das sagt mir zumindenst der
> Taschenrechner aber irgendwie glaub ich das das nicht
> stimmt! Die Funktion ist doch durchgängig negativ da ja
> auch mein Gewinn laut Aufgabenstellung immer abnimmt!
Eben!
> Muss ich dann bei b die Ableitung der Ableitung bestimmen? Ich
> verstehe gerade irgendwie gar nix mehr!
Hallo! Hab's Dir doch schon mal verklickert!
Bei b) musst Du die Funktion g(x)=x*f(x) = [mm] \bruch{x}{1+\wurzel{x}}
[/mm]
ableiten.
Warum? Wenn der Gewinn für 1 Stück 1*f(x) beträgt, dann beträgt er für x Stück natürlich x*f(x).
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 07.12.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
So ok danke für deine Geduld!
Also nochmal abschließend zu a)! Da kann ich dann so als Antwort sagen, das der Gewinn abnimmt da die Ableitung in der gesamten Definitionsmenge negativ ist!! Stimmt das so??
Zu b):
Also um zu zeigen das der Gewinn zunimmt muss die Ableitung positiv sein?!
Deshalb muss die Ableitung der Funktion [mm] g(x)=\bruch{x}{1+\wurzel{x}} [/mm] positiv sein!
Also die Ableitung ist irgendwie etwas komisch! Was hast du da raus? Meines ist
[mm] \bruch{1+\wurzel{x}-\bruch{x}{2\wurzel{x}}}{(1+\wurzel{x})²}!
[/mm]
Aber wie ich das jetzt noch vereinfache weiß ich nicht! Kannst du mir da helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 07.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich würde g vorher noch ein wenig vereinfachen, und dann erst ableiten.
[mm] g(x)=\bruch{1}{1+\wurzel{x}}=\bruch{1(1-\wurzel{x}}{(1-\wurzel{x})(1-\wurzel{x}}=\bruch{1-\wurzel{x}}{1-x}
[/mm]
Und jetzt ableiten:
[mm] g'(x)=\bruch{\bruch{1-\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}*(1\wurzel{x})}{(1-x)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{(1-\wurzel{x})²}{2\wurzel{x}}}{(1-x)²}
[/mm]
So ersparst du dir zumindest die Wurzel im Nenner
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Do 07.12.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ok danke...aber ist das jetzt einfacher als vorher??? Oder kann man das nochmehr vereinfachen??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 07.12.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Da meine Frage noch nicht ganz beantwortet wurde stelle ich sie einfach nochmal!
So ok danke für deine Geduld!
Also nochmal abschließend zu a)! Da kann ich dann so als Antwort sagen, das der Gewinn abnimmt da die Ableitung in der gesamten Definitionsmenge negativ ist!! Stimmt das so??
Zu b):
Also um zu zeigen das der Gewinn zunimmt muss die Ableitung positiv sein?!
Deshalb muss die Ableitung der Funktion $ [mm] g(x)=\bruch{x}{1+\wurzel{x}} [/mm] $ positiv sein!
Also die Ableitung ist irgendwie etwas komisch! Was hast du da raus? Meines ist
$ [mm] \bruch{1+\wurzel{x}-\bruch{x}{2\wurzel{x}}}{(1+\wurzel{x})²}! [/mm] $
Aber wie ich das jetzt noch vereinfache, weiß ich nicht! Kannst du mir da helfen?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 07.12.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi,
ich bin's noch mal!
Hab' Deine letzte Frage übersehen:
> Und selbst wenn ich dann die Ableitung
> habe, was bringt mir das?
Mit Hilfe der Ableitung wird die Zunahme / Abnahme eines Funktionsgraphen ermittelt - oder wo beides "ineinander übergeht! Extremstellen.
Wenn bei Aufgabe a) also nach Abnahme ("der Gewinn ... abnimmt") gefragt ist, sollst Du zeigen, dass die Ableitung in der gesamten Definitionsmenge negativ ist.
Bei b) muss die Ableitung entsprechend positiv sein!
mfG!
Zwerglein
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