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| Aufgabe | Was ist der Nullvektor bei folgender Abbildung:
[mm]\pi|_{U_{1}}:U_{1}\rightarrow(U_{1}+U_{2})/U_{2},x\mapsto x+U_{2}[/mm]?
Zeige außerdem, dass es sich um einen Epimorphismus handelt. |
Hallo,
ok, eigentlich soll ich bei der Aufgabe zeigen, dass der Kern=[mm]U_1\cap U_2 [/mm] ist. Aber dafür brauche ich ja den Nullvektor von [mm](U_1+U_2)/U_2[/mm]. Das mit dem Nullvektor habe ich noch nicht so genau verstanden. Vielleicht könnte mir da jemand helfen?
Und wie genau gehe ich vor, wenn ich zeigen soll, dass die Abbildung ein Epimorphismus ist, also surjektiv ist?
Vielen Dank für die Hilfe schonmal.
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> Was ist der Nullvektor bei folgender Abbildung:
> [mm]\pi|_{U_{1}}:U_{1}\rightarrow(U_{1}+U_{2})/U_{2},x\mapsto x+U_{2}[/mm]?
>
> Zeige außerdem, dass es sich um einen Epimorphismus
> handelt.
> Hallo,
>
> ok, eigentlich soll ich bei der Aufgabe zeigen, dass der
> Kern=[mm]U_1\cap U_2[/mm] ist. Aber dafür brauche ich ja den
> Nullvektor von [mm](U_1+U_2)/U_2[/mm]. Das mit dem Nullvektor habe
> ich noch nicht so genau verstanden. Vielleicht könnte mir
> da jemand helfen?
Hallo,
die Null in V / U ist U (= 0 + U.)
Versuch' das mal zu zeigen, wenn du die Quotientenräume einigermaßen verstanden hast, sollte es Dir gelingen.
> Und wie genau gehe ich vor, wenn ich zeigen soll, dass die
> Abbildung ein Epimorphismus ist, also surjektiv ist?
Du mußt zu beliebigem [mm] y\in U_1+U_2 [/mm] ein [mm] x\in U_1 [/mm] finden, so daß [mm] \pi(x)=y [/mm] + [mm] U_2 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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Also V \ U ist definiert durch [mm]V \ [mm] U=\{v+U|v\in V\} [/mm] richtig?
Soweit habe ich das schon verstanden :).
Aber wie komme ich jetzt darauf, dass der Nullvektor =0+U=U ist? Im Skript steht das zwar genauso, aber ohne weitere Erläuterung. Und vor allem viel wichtiger, wie komme ich dann zum Nullvektor von [mm](U_1+U_2)/U_2[/mm] bzw. zum Kern der Abbildung?
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> Also V \ U ist definiert durch [mm]V \ [mm]U=\{v+U|v\in V\}[/mm] richtig?
Hallo,
ja, richtig.
Soweit habe ich das schon verstanden :).
Aber wie komme ich jetzt darauf, dass der Nullvektor =0+U=U ist?
Du mußt Dich drau besinnen, was mit "Null" gemeint ist: das neutrale Element der Addition.
Du suchst als das Element x+U, für welches
(v+U)+(x+U)=v+U für alle [mm] v\in [/mm] V ist.
Im Skript steht das zwar genauso, aber ohne weitere Erläuterung. Und vor allem viel wichtiger, wie komme ich dann zum Nullvektor von [mm](U_1+U_2)/U_2[/mm] bzw. zum Kern der Abbildung?
Zum kern kommst Du dann, indem Du Dir überlegst, welche Elemente aus [mm] U_1 [/mm] vermöge [mm] \pi [/mm] auf [mm] U_2 [/mm] abgebildet werden.
Gruß v. Angela
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Hab das mit dem neutralen Element der Addition bzgl. V/U mal folgendermaßen berechnet:
(v+U)+(x+U)=(v+x)+U und das ist =v+U, wenn x=0 und wenn x=0 folgt:
(v+0)+U=(v+U)+(0+U)
damit wäre dann 0+U=U das neutrale Element der Addition. Richtig so?
Aber wie setze ich dann dafür [mm] (U_{1}+U_{2})/U_{2} [/mm] an?
Also wie wäre der erste Schritt, äquivalent hierzu (v+U)+(x+U)?
Tut mir leid wegen der vielen Fragen, aber es ist schon spät und mein Kopf will nicht mehr so richtig arbeiten.
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> Hab das mit dem neutralen Element der Addition bzgl. V/U
> mal folgendermaßen berechnet:
> (v+U)+(x+U)=(v+x)+U und das ist =v+U, wenn x=0
Hallo,
wenn Du meinst, daß aus
(v+x)+U=v+U folgt, daß x=0 ist, hast Du die Äquivalenzklassen überhaupt nicht verstanden.
Du mußt das unbedingt nacharbeiten.
Informiere Dich darüber, wann zwei Äquivalenzklassen a+U und b+U gleich sind.
(Damit's weitergeht: genau dann, wenn [mm] a-b\in [/mm] U )
halten wir also zunächst fest: in V / U ist U das neutrale Element.
> Aber wie setze ich dann dafür [mm](U_{1}+U_{2})/U_{2}[/mm] an?
Ich weiß jetzt nicht genau, was Du meinst.
In [mm] (U_{1}+U_{2})/U_{2} [/mm] ist dann entsprechend [mm] U_2 [/mm] das neutrale Element.
Gruß v. Angela
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