Quotientenmodul M/N endlich < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:51 So 10.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Sei M freier [mm] $\IZ$-Modul [/mm] vom Rang r mit Basis [mm] (m_1,...,m_r). [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] M sei [mm] $\IZ$-Untermodul [/mm] vom Rang r mit Basis [mm] (n_1,...,n_r), [/mm] so dass
[mm] n_1 [/mm] = [mm] a_{11}m_1 [/mm] , [mm] n_2 [/mm] = [mm] a_{12}m_1 [/mm] + [mm] a_{22}m_2 [/mm] , ... , [mm] n_r [/mm] = [mm] a_{1r}m_1 [/mm] + ... + [mm] a_{rr}m_r, [/mm]
mit Elementen [mm] a_{ij}\in\IZ.
[/mm]
Zeige, dass der Quotientenmodul $M/N$ endlich ist und dass die Anzahl seiner Elemente durch [mm] |a_{11}*...*a_{rr}| [/mm] gegeben ist. |
Wir hatten in der Vorlesung, dass sei [mm] $M=Lin(m_1,...,m_n)\bruch{\sim}{}R^n [/mm] und betrachte [mm] M\supseteq M'=Lin(m_2,...,m_n)\bruch{\sim}{}R^{n-1} [/mm] mit [mm] (\bruch{\sim}{} [/mm] bedeutet "ist isomorph zu")
[mm] M/M'\bruch{\sim}{}\!>R*m_1
[/mm]
[mm] \overline{r_1m_1}=\overline{r_1m_1+...+r_nm_n}\mapsto r*m_1
[/mm]
Hier bleibt ja von der Linearkombination [mm] \overline{r_1m_1+...+r_nm_n} [/mm] nur der Teil, der nicht in M' ist übrig, also nur [mm] \overline{r_1m_1}.
[/mm]
Kann man das übertragen auf $M/N$? Ich soll zeigen $M/N$ ist endlich und würde daher gern wissen, wie M/N aussieht, denn N ist hier ja komplizierter definiert als M'.
Könnte man das so aufschreiben?: [mm] M/N\to R\cdot{m}
[/mm]
z.B. bei [mm] \overline{n_r} =\overline{s_1m_1+...+s_rm_r}\;\mapsto\; [/mm] 0
und bei [mm] \overline{n_{r-1}}=\overline{t_1m_1+...+t_{r-1}m_{r-1}}\;\mapsto\; t\cdot{m_r} [/mm] usw.
Keine Ahnung, ob das überhaupt zielführend ist, deshalb danke fürs drüberschauen und helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 So 10.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> Keine Ahnung, ob das überhaupt zielführend ist, deshalb
> danke fürs drüberschauen und helfen.
Ich würde versuchen, jedes Element in der Projektion auf den Quotientenring, entsprechende dar zu stellen. Dazu würde ich den euklidischen Algorithmus von rechts nach links anwenden.
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:37 So 10.06.2012 | | Autor: | triad |
> > Keine Ahnung, ob das überhaupt zielführend ist, deshalb
> > danke fürs drüberschauen und helfen.
>
> Ich würde versuchen, jedes Element in der Projektion auf
> den Quotientenring, entsprechende dar zu stellen. Dazu
Damit kann ich leider wenig anfangen. Welche Elemente meinst du damit, die [mm] n_i [/mm] ? Die Projektion auf den Quotientenmodul wäre doch dann die Restklassenabbildung [mm] $\pi :M\to M/N,\; m\mapsto \overline{m}$ [/mm] ?
> würde ich den euklidischen Algorithmus von rechts nach
> links anwenden.
>
> SEcki
>
Der Eukl. Algorithmus ist mir klar, was meinst du jedoch mit von rechts nach links anwenden? Man kann ihn von oben nach unten (vorwärts) oder umgedreht (rückwärts) anwenden (beides habe ich schonmal mit Zahlenbeispielen gemacht).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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