Quotientenkrit. limsup/liminf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:26 Sa 19.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hi. Ich habe eine Frage zu Versionen vom Quotientenkriterium für Reihen.
Wir haben die Version: Sei [mm] (a_k) [/mm] eine Folge in [mm] \mathbb{K} [/mm] (ist bei uns = [mm] \mathbb{R} [/mm] oder [mm] \mathbb{C} [/mm] ), [mm] a_k\not= [/mm] 0 für fast alle [mm] k\in \mathbb{N}.
[/mm]
(i) Wenn ein [mm] q\in [/mm] (0,1) und [mm] k_0\in\mathbb{N} [/mm] existiert, sodass [mm] |\frac{a_{k+1}}{a_k}|\le [/mm] q für alle [mm] k\ge k_0, [/mm] dann konvergiert [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] absolut
(ii) Wenn ein [mm] k_0 [/mm] existiert, s.d. [mm] |\frac{a_{k+1}}{a_k}|\ge [/mm] 1 für alle [mm] k\ge k_0, [/mm] dann ist [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] divergent.
Nun soll (i) <=> zu (i') sein
(i') lautet: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup |\frac{a_{k+1}}{a_k}|< [/mm] 1
und es soll gelten: (ii)=>(ii')
(ii') lautet: ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf |\frac{a_{k+1}}{a_k}|> [/mm] 1, dann ist [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] divergent.
Und das verstehe ich nicht.
zu (i) <=> zu (i') :
-Wie kann man bei der Richtung => argumentieren?
Einerseits bedeutet ja, dass wenn [mm] |\frac{a_{k+1}}{a_k}|\le [/mm] q für ein [mm] q\in [/mm] (0,1), dass auch jeder Häufungspunkt von der Folge [mm] \frac{a_{k+1}}{a_k} [/mm] in (-1,1) liegen muss, oder?
-Und wie kriegt man die Richtung <= begründet?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup |\frac{a_{k+1}}{a_k}|< [/mm] 1 heißt, dass [mm] supH(|\frac{a_{k+1}}{a_k}|)=:S<1, [/mm] wobei [mm] H(|\frac{a_{k+1}}{a_k}|) [/mm] die Menge der Häufungspunkte der Folge [mm] |\frac{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] bezeichnet. D.h. für [mm] S\in \mathbb{R} [/mm] ist [mm] x\le [/mm] S für alle x [mm] \in H(|\frac{a_{k+1}}{a_k}|), [/mm] S<1. ... Ich komme nicht weiter :(
Bei der Implikation (ii)=>(ii') komme ich auch nicht groß weiter...
Wäre über Hilfe sehr dankbar.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Do 24.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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