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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 18.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
es geht um folgende Aufgabe:
Sei R ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit [mm] $1\ne0$. [/mm] Zeigen Sie:
In der Menge [mm] $R\times (R\setminus \{0\})$ [/mm] ist durch
[mm](a,b) \sim (a',b') \gdw ab' = a'b[/mm]
eine Aequivalenzrelation definiert. Wir schreiben [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] fuer die durch $(a,b)$ repraesentierte Aequivalenzklasse sowie
[mm]Q(R) := \left\{\frac{a}{b}|(a,b)\in R\times(R\setminus\{0\})\right\}[/mm]
fuer die Menge aller Aequivalenzklassen.
Jetzt sind wir beim Zeigen der Transitivitaet auf das Problem gestossen, dass wir nicht wissen, ob man die Division anwenden darf. Die Division entspricht doch der Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen. Aber dieses existiert doch in obigem Ring ueberhaupt nicht. Also, darf man dividieren? Falls nicht, koennt ihr vielleicht einen Tipp geben, wie man die Transitivitaet sonst zeigen kann (alleine mit der Addition bzw. Subtraktion hat es nicht hingehauen)?
Danke, Michael
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Hallo.
Du musst bei der Transitivität ein wenig basteln, dann geht es auch. Seien [mm] (a_1,b_1) [/mm] ~ [mm] (a_2,b_2) [/mm] und [mm] (a_2,b_2) [/mm] ~ [mm] (a_3,b_3). [/mm] Wobei per Definition deine [mm] b_i \not=0 [/mm] sind. Dann gilt: [mm] a_1b_2=a_2b_1 [/mm] und [mm] a_2b_3=a_3b_2. [/mm] Zeigen willst du ja, dass [mm] a_1b_3=a_3b_1 [/mm] gilt.
Dafür betrachtest du [mm] a_1b_2b_3=a_2b_1b_3=a_2b_3b_1=a_3b_2b_1. [/mm] Die Gleichheitszeichen 1 und 3 gelten hier nach Voraussetzung, das zweite wegen Kommutativität von R.
Wenn du diese Gleichung umformst erhälst du aber:
[mm] b_2(a_1b_3-a_3b_1)=0. [/mm] Jetzt musst du nur noch ausnutzen, dass [mm] b_2\not=0 [/mm] und R nullteilerfrei und du bist fertig.
Hoffe, ich konnte helfen.
Gruß, San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Do 19.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> Du musst bei der Transitivität ein wenig basteln,
schoen schoen.  Danke fuer Deine Hilfe!
Michael
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