Quotientenkörper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 25.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Man zeige, daß der Quotientenkörper des Polynomringes R[x] uber einem Integritätsbereich R isomorph zum K¨orper der rationalen Funktionen über dem Quotientenkörper von R ist
Weiß absolut nicht wie ich ansetzten soll. Wäre über jeden kleinen Tipp dankbar.
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Grüße!
Also schön, ein kleiner Tipp: ich bezeichne den Quotientenkörper von $R$ mal mit $K$.
Sei also nun ein Element $h$ aus dem Körper der rationalen Funktionen über $K$ gegeben. Eine rationale Funktion ist Quotient zweier Polynome, also gibt es $f,g [mm] \in [/mm] K[X]$ mit $h = [mm] \frac{f}{g}$.
[/mm]
Durch Erweitern mit geeigneten Elementen kann man nun erreichen, dass $f$ und $g$ nur Koeffizienten in $R$ haben. Stell' Dir z.B. vor Du hast den Quotienten zweier Polynome mit Koeffizienten in [mm] $\IQ$ [/mm] gegeben... dann kannst Du den Bruch so erweitern, dass beide Polynome nur noch Koeffizienten in [mm] $\IZ$ [/mm] besitzen.
Das liefert Dir eine Abbildung von $K(X) [mm] \to [/mm] Quot(R[X])$. Wohldefiniertheit dürfte relativ klar sein, jetzt fehlt noch Injektivität und Surjektivität (das es ein Homomorphismus von Körpern ist liegt nahe, oder...?)
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:38 Di 25.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Diese Abbildung beschreibt also diese Veränderung der Koeffizienten der Polynome. Was muss ich jetzt noch zeigen ? Injektivität und Surjektivität ?
Was ist damit denn genau gemeint ? Danke für die Veranschaulichung durch das Beispiel.
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