Quotientenabbildung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
sicherlich gehe ich euch schon auf die Nerven, bin leider ganz knapp am bestehen gescheitert meiner Algebra Klausur und will die 2 Monate Ferien nutzen, um mein Skript so gut es geht zu verstehen. Es geht um folgenden Satz:
"Das Bild $f(ab)$ unter der Quotientenabbildung $f : R -> R/I$ ist gerade das Nullelement von $R/I$."
Jetzt bin ich mal zur Veranschaulichung hergegangen und habe folgendes gemacht:
[mm] R=\IZ [/mm] und [mm] I=2\IZ
[/mm]
Somit hätte ich:
$f : [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IZ/2\IZ$
[/mm]
Ich wähle nunmal 6=2*3 [mm] \in 2\IZ
[/mm]
f(6)=0 mod 2=f(2)*f(3)=0*f(3) mod 2
Dadurch habe ich mir an einem Beispiel klar gemacht, dass es gilt. Ich würde das aber ganz gerne mal allgemein verstehen bzw. beweisen, könnte mir das jemand erklären bzw. beweisen?
Danke schonmal und einen schönen Sonntag noch!
|
|
| |
|
> Hallo Leute,
moin,
> sicherlich gehe ich euch schon auf die Nerven,
nö, eigentlich nicht.
> bin leider ganz knapp am bestehen gescheitert meiner Algebra Klausur
> und will die 2 Monate Ferien nutzen, um mein Skript so gut
> es geht zu verstehen. Es geht um folgenden Satz:
>
> "Das Bild [mm]f(ab)[/mm] unter der Quotientenabbildung [mm]f : R -> R/I[/mm]
> ist gerade das Nullelement von [mm]R/I[/mm]."
Mit der Quotientenabbildung meinst du $f: R [mm] \to [/mm] R/I$, $a [mm] \mapsto [/mm] a + I$, wobei $R$ ein kommutativer Ring ist und $I$ ein Ideal in $R$ nehm ich an?
Dann frage ich mich, wieso dieser Satz gelten sollte.
Es gilt $f(ab) = f(a)*f(b)$, denn die Quotientenabbildung ist ein Ringhomomorphismus.
Ist nun $f(ab) = f(a)*f(b) = 0 + I$ so gelten höchst wahrscheinlich noch ein paar weitere Bedingungen an die Elemente $a$ und $b$.
> Jetzt bin ich mal zur Veranschaulichung hergegangen und
> habe folgendes gemacht:
>
> [mm]R=\IZ[/mm] und [mm]I=2\IZ[/mm]
>
> Somit hätte ich:
>
> [mm]f : \IZ -> \IZ/2\IZ[/mm]
>
> Ich wähle nunmal 6=2*3 [mm]\in 2\IZ[/mm]
>
> f(6)=0 mod 2=f(2)*f(3)=0*f(3) mod 2
>
> Dadurch habe ich mir an einem Beispiel klar gemacht, dass
> es gilt. Ich würde das aber ganz gerne mal allgemein
> verstehen bzw. beweisen, könnte mir das jemand erklären
> bzw. beweisen?
Ja, aber was wäre wenn du $a=1$ und $b=3$ wählen würdest?
Dann hättest du $f(3) = f(1*3) = f(1)*f(3) = (1 + [mm] 2\IZ)*(3+2\IZ) [/mm] = 1 + [mm] 2\IZ \neq [/mm] 0 + [mm] 2\IZ$ [/mm] und der Satz würde nicht mehr gelten.
Also wiegesagt guck nochmal genau nach ob weitere Bedingungen an die Elemente $a,b$ gestellt wurden, denn in dieser Form wie er da steht ist der Satz im Allgemeinen falsch.
> Danke schonmal und einen schönen Sonntag noch!
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Es geht um diesen Beweis der Proposition:
http://www.myimg.de/?img=ringeccbea.jpg
Ich hab natürlich extra etwas gerade genommen, da ja nur [mm] 2\IZ [/mm] ein Ideal von [mm] \IZ [/mm] ist und nicht [mm] 1+2\IZ.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Du schreibst doch hier
https://matheraum.de/read?i=907064
dass du verstanden hättest, was der Kern insbesondere der Quotientenabbildung ist...
Man nimmt doch gerade Elemente $ a,b [mm] \in [/mm] R $ sodass $a b [mm] \in [/mm] I $, also ist dieses Produkt im Kern der Quotientenabbildung, der ja I ist und der Kern ist ja gerade die Menge aller Elemente, die auf Null abgebildet werden, damit muss also $ f(a b) = 0 $ sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
In dem Zusammenhang ist mir das dann doch klar, habe da erstmal nicht den Zusammenhang anscheinend gesehen, danke euch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 13.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Habe doch noch eine Frage dazu und zwar, ob ich das richtig verstanden habe:
http://www.myimg.de/?img=ringeccbea.jpg
Es geht um die Umkehrung (Ab: "Für die Umkehrung..."
Ich nehme a'b'=0, es gibt f(a)=a' und f(b)=b'
Dann steht da ja f(ab)=0
$ab$ ist dann im Kern sprich I, weil ebenfalls 0 [mm] \in [/mm] I ist, korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 13.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Habe doch noch eine Frage dazu und zwar, ob ich das richtig verstanden habe:
http://www.myimg.de/?img=ringeccbea.jpg
Es geht um die Umkehrung (Ab: "Für die Umkehrung..."
Ich nehme a'b'=0, es gibt f(a)=a' und f(b)=b'
Dann steht da ja f(ab)=0
$ ab $ ist dann im Kern sprich I, weil ebenfalls 0 $ [mm] \in [/mm] $ I ist, korrekt?
(Sorry, habe oben ausversehen Mitteilung statt Frage gewählt)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt: $ker(f)=I$. Wegen $f(ab)=0$ gilt $ab [mm] \in [/mm] ker(f)=I [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] I$. Es liegt also nicht daran, dass $0 [mm] \in [/mm] I$ ist, denn das gilt ja sowieso immer.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mo 13.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, also wie vorher.
Danke!
|
|
|
|
