Quotientenabbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 09.05.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | | Sei l [mm] \in [/mm] X' mit [mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel [/mm] = 1. Dann ist l eine Quotientenabbildung. |
Der Beweis lautet:
Für jedes x [mm] \in B_{X}° [/mm] ist |l(x)| [mm] \le \parallel [/mm] l [mm] \parallel \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] < 1, also ist [mm] l(B_{X}°) \subseteq B°_{\IK}. [/mm] (?)
Sei t [mm] \in \IK [/mm] mit |t|<1.
Dann gibt es ein [mm] x_{0} \in B_{X} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel [/mm] = [mm] sup_{x \in B_{X}}|l(x)| \ge |l(x_{0})| [/mm] > |t|.
Für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{t}{l(x_{0})} [/mm] * [mm] x_{0} [/mm] ist dann [mm] \parallel x_{1} \parallel [/mm] < 1 und [mm] l(x_{1} [/mm] ) = t. (?)
Folglich ist [mm] B°_{\IK} \subseteq l(B_{X}°).
[/mm]
Leider verstehe ich diesen Beweis nicht wirklich.. kann ihn mir jemand erklären? Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Bitte um Definitionen deiner verwendeten Symbole, Bezeichnungen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Mi 09.05.2007 | | Autor: | dena |
Hallo!
Also:
> Sei l [mm]\in[/mm] X' mit [mm]\parallel[/mm] l [mm]\parallel[/mm] = 1. Dann ist l eine
> Quotientenabbildung.
Seien X und Y normierte Räume. Eine lineare Abb. T: X [mm] \to [/mm] Y heißt Quotientenabb., wenn T die offene Kugel {x [mm] \in [/mm] X: [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] < 1} auf die offene Kugel {y [mm] \in [/mm] Y: [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] < 1} abbildet.
Außerdem:
Für eine Quotientenabb. T: X [mm] \to [/mm] Y ist X/ker(T) [mm] \cong [/mm] Y.
Speziell ist eine Quotientenabb. surjektiv und stetig mit [mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel [/mm] =1.
Quotientenabb. brauchen nicht abgeschlossene Kugeln auf abgeschlossene Kugeln abbilden.
> Der Beweis lautet:
>
> Für jedes x [mm]\in B_{X}°[/mm] ist |l(x)| [mm]\le \parallel[/mm] l [mm]\parallel \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel[/mm] < 1, also ist [mm]l(B_{X}°) \subseteq B°_{\IK}.[/mm]
> (?)
>
[mm] (B_{X}°) [/mm] wird wohl das Innere vom Ball sein
l wird der Folgenraum [mm] l^{1} [/mm] sein
> Sei t [mm]\in \IK[/mm] mit |t|<1.
> Dann gibt es ein [mm]x_{0} \in B_{X}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] l [mm]\parallel[/mm]
> = [mm]sup_{x \in B_{X}}|l(x)| \ge |l(x_{0})|[/mm] > |t|.
> Für [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{t}{l(x_{0})}[/mm] * [mm]x_{0}[/mm] ist dann [mm]\parallel x_{1} \parallel[/mm]
> < 1 und [mm]l(x_{1}[/mm] ) = t. (?)
> Folglich ist [mm]B°_{\IK} \subseteq l(B_{X}°).[/mm]
>
> Leider verstehe ich diesen Beweis nicht wirklich.. kann ihn
> mir jemand erklären? Vielen Dank!
ok?
DANKE!!!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:19 Mi 09.05.2007 | | Autor: | dena |
Guten Abend!
Leider konnte mir noch keiner den Beweis erklären, deshalb versuche ich es jetzt nochmals.. wäre dringend!
Vielen Dank!
dena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
> Sei l [mm]\in[/mm] X' mit [mm]\parallel[/mm] l [mm]\parallel[/mm] = 1. Dann ist l eine
> Quotientenabbildung.
> Der Beweis lautet:
>
> Für jedes x [mm]\in B_{X}°[/mm] ist |l(x)| [mm]\le \parallel[/mm] l [mm]\parallel \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel[/mm] < 1, also ist [mm]l(B_{X}°) \subseteq B°_{\IK}.[/mm]
> (?)
Dazu schau dir die Definition von [mm] $B_X\mathring{}$ [/mm] und [mm] $B_\IK\mathring{}$ [/mm] an und die Definition von [mm] $\| [/mm] l [mm] \|$: [/mm] es ist ja [mm] $B_X\mathring{} [/mm] = [mm] \{ x \in X \mid \|x\| < 1 \}$ [/mm] und [mm] $B_\IK\mathring{} [/mm] = [mm] \{ x \in \IK \mid \|x\| < 1 \}$.
[/mm]
Und [mm] $\| [/mm] l [mm] \| [/mm] = [mm] \sup_{x \in B_X} \| [/mm] l(x) [mm] \| [/mm] = [mm] \sup_{x \in X \setminus \{ 0 \}} \frac{\| l(x) \|}{\| x \|}$.
[/mm]
Ist also $x [mm] \in B_X\mathring{}$, [/mm] so ist [mm] $\| [/mm] x [mm] \| [/mm] < 1$ und damit [mm] $\| [/mm] l(x) [mm] \| \le \| [/mm] l [mm] \| \cdot \| [/mm] x [mm] \| [/mm] = 1 [mm] \cdot \| [/mm] x [mm] \| [/mm] < 1$.
Wenn du etwas nicht verstehst, sag bitte genau an welcher Stelle (also welches Gleichheitszeichen z.B.).
Jetzt kommt der Beweis, dass auch jedes Element aus [mm] $B_\IK\mathring{}$ [/mm] von einem Element aus [mm] $B_X\mathring{}$ [/mm] getroffen wird. Dazu nimmt man sich erstmal eins:
> Sei t [mm]\in \IK[/mm] mit |t|<1.
> Dann gibt es ein [mm]x_{0} \in B_{X}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] l [mm]\parallel[/mm]
> = [mm]sup_{x \in B_{X}}|l(x)| \ge |l(x_{0})|[/mm] > |t|.
Das liegt an der Definition [mm] $\| [/mm] l [mm] \| [/mm] = [mm] \sup_{x \in B_X} \| [/mm] l(x) [mm] \|$: [/mm] da das Supremum 1 ist, gibt es eine gegen 1 konvergierende Folge von Elementen [mm] $x_n \in B_X$ [/mm] mit [mm] $\| l(x_n) \| \to [/mm] 1$. Irgendwann hast du also auch ein $n$ mit [mm] $\| l(x_n) \| [/mm] > |t|$, da $|t| < 1$ ist. Dieses waehlst du als [mm] $x_0$.
[/mm]
> Für [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{t}{l(x_{0})}[/mm] * [mm]x_{0}[/mm] ist dann [mm]\parallel x_{1} \parallel < 1[/mm]
Also dass du [mm] $x_1$ [/mm] so definieren kannst ist ok, oder? (Da [mm] $\| l(x_0) \| [/mm] > |t|$ ist [mm] $l(x_0) \neq [/mm] 0$.) Damit ist [mm] $\| x_1 \| [/mm] = [mm] \frac{|t|}{| l(x_0) |} \| x_0 \| [/mm] < [mm] \| x_0 \| \le [/mm] 1$, da $|t| < | [mm] l(x_0)|$ [/mm] und [mm] $x_0 \in B_X$.
[/mm]
> und [mm]l(x_{1}[/mm] ) = t. (?)
Es ist [mm] $l(x_1) [/mm] = [mm] l(\frac{t}{l(x_0)} x_0) [/mm] = [mm] \frac{t}{l(x_0)} l(x_0)$ [/mm] wegen der [mm] $\IK$-Linearitaet [/mm] von $l$.
> Folglich ist [mm]B°_{\IK} \subseteq l(B_{X}°).[/mm]
Das ist dann damit klar.
OK soweit? Wenn nicht, sag genau welche Behauptungen (Gleichheitszeichen etc.) du nicht verstehst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Do 10.05.2007 | | Autor: | dena |
Hallo Felix!
Herzlichen Dank für deine Mühe, für die super Erklärungen!
Habe jetzt alles verstanden!
Danke nochmals!
lg dena
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