Quotient konvergenter Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Fr 06.11.2009 | | Autor: | hoffmans |
| Aufgabe | Behauptung: Seien [mm] (\alpha)n \in \IN [/mm] und [mm] (\beta)n \in \IN [/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit lim [mm] (\beta)n [/mm] =: [mm] \beta \not= [/mm] 0. Dann gibt es ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] , so dass [mm] (\beta)n \not=0 [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} \in \IN [/mm] und die Quotientenfolge ( [mm] (\alpha)n [/mm] / [mm] (\beta)n) [/mm] konvergiert.
Beweis: Wir behandeln zunächst den Spezialfall, das [mm] (\alpha)n [/mm] die konstante Folge [mm] (\alpha)n [/mm] = 1 ist. Da [mm] \beta\not=0 [/mm] , ist [mm] |\beta|/2>0 [/mm] ,es gibt also ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] |(\beta)n [/mm] - [mm] (\beta)| [/mm] < [mm] |\beat|/2 [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] .
>>> Daraus folgt [mm] |(\beta)n| \ge |\beta|/2 [/mm] <<< ...
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Meine Frage: Woher folgert man das [mm] |(\beta)n| \ge |\beta|/2 [/mm] ???
Mit der Dreiecksungleichung hab ich es probiert, klappt nicht???
Beweis §4 Satz4 Analysis 1 Otto Forster
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> Behauptung: Seien [mm](\alpha)n \in \IN[/mm] und [mm](\beta)n \in \IN[/mm]
> zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit lim [mm](\beta)n[/mm] =:
> [mm]\beta \not=[/mm] 0. Dann gibt es ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] , so dass
> [mm](\beta)n \not=0[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0} \in \IN[/mm] und die
> Quotientenfolge ( [mm](\alpha)n[/mm] / [mm](\beta)n)[/mm] konvergiert.
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> Beweis: Wir behandeln zunächst den Spezialfall, das
> [mm](\alpha)n[/mm] die konstante Folge [mm](\alpha)n[/mm] = 1 ist. Da
> [mm]\beta\not=0[/mm] , ist [mm]|\beta|/2>0[/mm] ,es gibt also ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm]
> mit [mm]|(\beta)n[/mm] - [mm](\beta)|[/mm] < [mm]|\beta|/2[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> .
> >>> Daraus folgt [mm]|(\beta)n| \ge |\beta|/2[/mm] <<< ...
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> Meine Frage: Woher folgert man das [mm]|(\beta)n| \ge |\beta|/2[/mm] ???
> Mit der Dreiecksungleichung hab ich es probiert, klappt nicht???
Hallo Sebastian,
du hast dir viel Mühe gegeben, all die lästigen griechischen
Buchstaben zu schreiben. Vorschlag: Nehmen wir von jetzt
an doch einfach [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] statt [mm] \alpha_n [/mm] und [mm] \beta_n [/mm] !
Dir ist sicher klar, um was es geht: Weil [mm] q_n=\frac{a_n}{b_n}
[/mm]
im Falle [mm] b_n=0 [/mm] nicht definiert wäre, muss man solche
Glieder vermeiden. Da die Folge der [mm] b_n [/mm] gegen einen Grenz-
wert [mm] \beta\not=0 [/mm] strebt, müssen ja aber alle [mm] b_n [/mm] für genügend
große n "nahe" bei [mm] \beta [/mm] liegen. Wenn man also [mm] \varepsilon:=\frac{|\beta|}{2}
[/mm]
setzt, muss es wegen der Konvergenz der Folge der [mm] b_n [/mm] zum
Grenzwert [mm] \beta [/mm] ein [mm] N_{\varepsilon}\in\IN [/mm] geben, so dass für alle n mit
[mm] n\ge{N_{\varepsilon}} [/mm] gilt:
$\ [mm] |b_n-\beta|<\varepsilon=\frac{|\beta|}{2}$ [/mm]
Anschaulich auf der Zahlengeraden betrachtet bedeutet dies:
[mm] b_n [/mm] hat vom Grenzwert [mm] \beta [/mm] einen Abstand, der kleiner
ist als der halbe Abstand zwischen [mm] \beta [/mm] und der Zahl Null.
Mach dir das zeichnerisch klar, einmal für ein positives
und einmal für ein negatives [mm] \beta.
[/mm]
Daraus folgt: der Abstand zwischen [mm] b_n [/mm] und der Null ist
stets grösser als [mm] \frac{|\beta|}{2}.
[/mm]
(man könnte das Ganze wohl auch mittels Dreiecksungleichung
aufschreiben)
LG Al-Chw.
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