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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Do 20.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...ich hätte da ein paar Fragen zu einem Beweis mittels Fallunterscheidung denn wir heute in der VO gerechnet haben:
Sein A eine einstellige Aussageform mit zugehöriger Klasse M und B eine Aussage:
[mm] [(\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: A(a)) [mm] \Rightarrow [/mm] B] [mm] \equiv \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M: (A(a)) [mm] \Rightarrow [/mm] B)
Fallunterscheidung:
1.Fall F......Annahme Ausdruck [mm] (\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: A(a)) ist falsch
B kann in dem Fall W,F sein....der Gesamtausdruck ist aber immer wahr
da F->W=W und W->W = W...ist klar
[mm] '(\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: A(a)) = [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M: '(A(a))
So und jetzt steig ich irgendwie aus was wir da bewiesen haben.....was bringt uns das jetzt?
Hier haben wir mit dem 1.Fall aufgehört
2.Fall W......Annahme Ausdruck [mm] (\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: A(a)) ist wahr
B kann in dem Fall W,F sein....der Gesamtausdruck kann diesmal wahr oder
falsch sein...klar
..und dann haben wir irgendwie gesagt dass die rechte Seite falsch ist und das Ganze smit bewiesen ist....blick da nicht ganz durch...
mfg,
Hannes
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Hallo Hannes,
> Sein A eine einstellige Aussageform mit zugehöriger Klasse
> M und B eine Aussage:
>
> [mm][(\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] M: A(a)) [mm]\Rightarrow[/mm] B] [mm]\equiv \exists[/mm] a [mm]\in[/mm] M: (A(a)) [mm]\Rightarrow[/mm] B)
>
> Fallunterscheidung:
> 1.Fall F......Annahme Ausdruck [mm](\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] M: A(a))
> ist falsch
> B kann in dem Fall W,F sein....der Gesamtausdruck ist aber
> immer wahr
> da F->W=W und W->W = W...ist klar
>
> [mm]'(\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] M: A(a)) = [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] M: '(A(a))
> So und jetzt steig ich irgendwie aus was wir da bewiesen
> haben.....was bringt uns das jetzt?
> Hier haben wir mit dem 1.Fall aufgehört
Wenn der Ausdruck [mm](\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] M: A(a)) falsch sein soll, folgt, dass die Verneinung des Ausdrucks wahr sein muss. Dann ist aber [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] M: '(A(a)) wahr. Dann ist weiter für dieses spezielle a aus M die Aussage A(a) falsch, also stimmt [mm]A(a) \Rightarrow B[/mm] für dieses a. Nichts anderes sagt die rechte Seite oben.
>
> 2.Fall W......Annahme Ausdruck [mm](\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] M: A(a)) ist
> wahr
> B kann in dem Fall W,F sein....der Gesamtausdruck kann
> diesmal wahr oder
> falsch sein...klar
Wenn B wahr ist, gibts für die rechte Seite oben nix zu zeigen (vorausgesetzt, M ist nicht leer!): (A(a)) [mm]\Rightarrow[/mm] B) gilt dann für jedes a aus M.
Also bleibt noch, dass B falsch ist:
Dann ist aber unter dieser Voraussetzung die linke Seite oben falsch, denn für alle a aus M ist A(a) wahr und mit B wird etwas Falsches gefolgert. Dann gibt es aber kein a, aus dem sich A(a)) [mm]\Rightarrow[/mm] B folgern ließe (denn alle A(a) sind wahr und B ist falsch) und damit die rechte Seite falsch.
Grüße, Richard
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Hallo reaper,
ich werde aus deiner Angabe nicht schlau.
Das einzige, was ich dir mit Sicherheit sagen kann ist folgendes.
Die Aussagen [mm] ${\forall}a{\in}M:A(a)$ [/mm] und [mm] ${\exists}a{\in}M:{\neg}A$ [/mm] sind jeweils die Negation voneinander. Die Begründung ist ganz banal, wenn du sie mit Worten beschreibst.
Die erste Aussage besagt, dass alle $a$ der Menge $M$ eine bestimmte Eigenschaft $A$ besitzen. Um diese Aussage als falsch zu entlarven genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden. Das ist genau die zweite Aussage, bei der ein $a$ aus $M$ existiert, das die
Eigenschaft $A$ nicht besitzt. Also sind
NICHT(alle a aus M haben Eigenschaft A)
und
(es gibt ein a aus M NICHT mit Eigenschaft A)
äquivalente Aussagen.
Das einzige was ich dir sonst noch sagen kann, ist, dass im von dir beschriebenen Fall1 die erlaubten Folgerungen
F [mm] $\Rightarrow$ [/mm] F und F [mm] $\Rightarrow$ [/mm] W
sein müssen, weil man angenommen hat, dass die linke Seite falsch ist, so dass es keine Rolle spielt ob die rechte Seite B wahr ist oder nicht.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....ja ich hab nochmahl nachgeschaut und die Angabe ist sicher richtig abgeschrieben. Wir haben dann eh noch einen anderen Beweis nachgeliefert denn ich kapiere aber unser Prof. wollte uns halt zeigen dass der Beweis halt auch über Falluntescheidung geht. Also man nimmt an der Ausdruck sei falsch oder wahr und für beide Seiten muss dann das Richtige rauskommen......leider kapier ichs aber immer noch nicht. Weiß jemand ohne (oder mithilfe) meiner etwas verwirrende Mitschrift wie der Beweis mittels Fallunterscheidung gehen könnte ?
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo, ich hab Dir schon eine Antwort geschrieben, aber nicht unter diesem Posting... Gruß Rochard
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