Quantenmechanik Wiederholung < Atom- und Kernphysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Fr 06.03.2015 | | Autor: | Jellal |
Hallo zusammen,
ich würde diesen Thread gerne benutzen, um Fragen zu den Grundlagen der Quantenmechanik zu stellen, die sich bei Wiederholung des Stoffes auftun.
Im Lehrbuch bin ich gerade an der Stelle, an der gesagt wird, dass die Lösung der Schrödingergleichung normierbar sein muss. Als Fußnote steht nun aber dabei:
"Offenbar muss [mm] \Psi [/mm] für |x|--> [mm] \infty [/mm] schneller gegen 0 gehen, als [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] "
Wie kommen die auf genau diesen Wert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Sa 07.03.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
zeige mit Polarkoordinaten, dass [mm] $\int\limits_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{||x||} \mathrm{d}^nx=\infty$ [/mm] für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
Damit sollte dann die Behauptung klar sein.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 08.03.2015 | | Autor: | Jellal |
Hey Andyy,
ich verstehe nicht, was mir die Erkenntnis bringt, dass das Integral divergiert. Das Integral über [mm] x^{-n} [/mm] mit [mm] n\in \IN [/mm] divergiert doch nicht wegen den Funktionswerten bei x--> [mm] \infty, [/mm] sondern für x-->0.
Ich müsste also fordern, dass [mm] \Psi^{2} [/mm] für x-->0 endlich bleibt, und nicht, dass es für [mm] x-->\infty [/mm] schneller gegen 0 geht...
Wieso muss es ausgerechnet schneller -->0 gehen als [mm] x^{-1}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 09.03.2015 | | Autor: | hippias |
[mm] $\Psi$ [/mm] ist stetig und auf jedem endlichen Intervall mindestens stueckweise [mm] $2\times$ [/mm] differenzierbar. Damit ist [mm] $\Psi$ [/mm] in einer kompakten Umgebung der $0$ auf jeden Fall endlich. Die $0$ stellt hinsichtlich der Normierbarkeit also keine Schwierigkeiten dar.
Anders verhaelt es sich, wenn man ueber den gesamten Raum integriert, dann koennte leicht Divergenz des Integrals auftreten.
Da der Mittelteil, also gewisse Umgebungen der $0$ hier nicht von Belang sind, sagen die Autoren Deine Buches, [mm] $\Psi$ [/mm] muss sich fuer [mm] $|x|\to \infty$ [/mm] wie die und die Funktion verhalten. Damit ist aber auf keinen Fall gemeint, dass sich [mm] $\Psi$ [/mm] auch in der Naehe der $0$ wie diese Funktion verhaelt.
Ich finde die Formulierung aus Deinem Buch einigermassen unklar, vermute aber sie meint folgendes:
Fuer beliebiges $c>0$ ist das Integral [mm] $\int_{c}^{\infty} \frac{1}{x}dx$ [/mm] divergent, aber die Integrale [mm] $\int_{c}^{\infty} \frac{1}{x^{s}}dx$, [/mm] $s>1$, konvergieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Jellal |
Hallo Hippias,
danke für deine Antwort :)
Das heißt, es ist etwas komisch formuliert und es geht einfach nur darum, dass die Konvergenz für x--> [mm] \infty [/mm] oftmals nicht ausreicht, damit das Integral konvergiert.
zB. muss [mm] \Psi [/mm] schneller gegen 0 gehen als [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}.
[/mm]
Wenn das richtig ist, ist meine Frage geklärt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mo 09.03.2015 | | Autor: | andyv |
> Das heißt, es ist etwas komisch formuliert und es geht
> einfach nur darum, dass die Konvergenz für x--> [mm]\infty[/mm]
> oftmals nicht ausreicht, damit das Integral konvergiert.
Schlimmer:
1. Es gibt keine für [mm] $|x|\to \infty$ [/mm] konvergente Funktion $f [mm] \in L^2(\mathbb{R}^n)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{|x| \to \infty}f(x)\neq [/mm] 0$
2. Gilt [mm] $\lim\limits_{|x| \to \infty}f(x)= [/mm] 0$, so ist nicht notwendig $f [mm] \in L^2(\mathbb{R}^n)$.
[/mm]
> zB. muss [mm]\Psi[/mm] schneller gegen 0 gehen als
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}.[/mm]
Ja.
>
> Wenn das richtig ist, ist meine Frage geklärt :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 09.03.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
der Raum der eigentlichen Zustände ist der Hilbertraum [mm] $L^2(\Omega)=\{f: \Omega \to \mathbb{R} \ \text{messbar}|\int f(x)dx<\infty\}$ [/mm] mit [mm] $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ [/mm] offen oder ein abgeschlossener Unterraum davon. In den meisten Fällen sind die Zustände Elemente des Sobolevraums [mm] $H^1(\Omega)$ [/mm] bzw. [mm] H^1_0(\Omega)$. [/mm] In jedem Fall sind die Funktionen dann normierbar.
Die Funktion [mm] $f(x)=|x|^{-1/2}$, [/mm] $x [mm] \in \mathbb{R}^3$, [/mm] $x [mm] \neq [/mm] 0$, ist nicht normierbar, denn es gilt [mm] $\int_{\mathbb{R}^3} |f|^2(x)dx=\infty$.
[/mm]
Dies liegt anschaulich daran, dass die Fuktion zu "langsam" für $x [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 konvergiert. $x [mm] \to [/mm] 0$ ist dagegen kein Problem, es ist [mm] $\int_{B_R(0)} |f|^2(x)dx<\infty$ [/mm] für jedes $R>0$.
Normierbare Funktionen brauchen also nicht beschränkt zu sein.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Jellal |
Alles klar, danke euch :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Di 24.03.2015 | | Autor: | Jellal |
Ich habe eine weitere Frage:
Zur Dirac-Notation.
Es wurden die Eigenfunktionen des Ortsoperators berechnet:
[mm] x*g_{y}(x)=y*g_{y}(x)
[/mm]
Dabei sind [mm] g_{y}(x) [/mm] die zum Ort x gehörigen Eigenvektoren, zum Ortseigenwert y.
--> [mm] g_{y}(x)=\delta(x-y)
[/mm]
Ein paar Seiten später wurde dann die Dirac-Notation eingeführt.
Man betrachtet einen abstrakten Zustand [mm] |\rho(t)>, [/mm] der "draußen im Hilbertraum lebt", aber durch beliebige Basen ausgedrückt werden kann.
"Die Wellenfunktion [mm] \Psi(x,t) [/mm] ist der Koeffizient in der Entwicklung von [mm] |\rho> [/mm] in der Basis der Ortseigenfunktionen:
[mm] \Psi(x,t)=
[/mm]
Hierbei steht |x> für die Eigenfunktion vom x-Operator zum Eigenwert x."
Ich verstehe nicht ganz, wo diese Gleichung herkommt.
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\rho(t)dy} [/mm] = [mm] \Psi(x,t) [/mm] ?
Kann mir das jemand näher bringen?
Gruß
Jellal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 24.03.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
sowas ähnliches solltes aus der linearen Algebra bzw. der Funktionalanalysis bekannt sein:
Ist X ein Prähilbertraum und [mm] $\{e_\alpha|\alpha \in I\}$ [/mm] eine ONB in X. So lässt sich jedes $x [mm] \in [/mm] X$ entwickeln nach den Basisvektoren der ONB und die Entwicklungskoeffizienten sind [mm] $$.
[/mm]
Da wir hier mit uneigentlichen HR Vektoren hantieren, ist das mathematisch etwas schwieriger. Jedenfalls schreibt man symbolisch [mm] $|\rho>=\int \Psi(y) [/mm] |y>$. Wende jetzt einen Bra Zustand auf beide Seiten der Gleichung an.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Di 24.03.2015 | | Autor: | Jellal |
> Hallo,
Hi :)
> sowas ähnliches solltes aus der linearen Algebra bzw. der
> Funktionalanalysis bekannt sein:
>
> Ist X ein Prähilbertraum und [mm]\{e_\alpha|\alpha \in I\}[/mm]
> eine ONB in X. So lässt sich jedes [mm]x \in X[/mm] entwickeln nach
> den Basisvektoren der ONB und die Entwicklungskoeffizienten
> sind [mm][/mm].
Stimmt, das ist mir bekannt.
> Da wir hier mit uneigentlichen HR Vektoren hantieren, ist
> das mathematisch etwas schwieriger. Jedenfalls schreibt man
> symbolisch [mm]|\rho>=\int \Psi(y) |y>[/mm]. Wende jetzt einen Bra
> Zustand auf beide Seiten der Gleichung an.
Was meinst du mit "HR"?
Ich verstehe hier den Unterschied zwischen [mm] \rho [/mm] und [mm] \Psi [/mm] nicht.
Es ist doch [mm] \Psi(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\Psi(y,t)dy}
[/mm]
Gleichzeitig ist [mm] \Psi(x,t) [/mm] also Koeffizient und Ergebnis.
Das Ergebnis, der Zustand, wird aber jetzt mit [mm] \rho(t) [/mm] bezeichnet, weil man von der Ortsbasis wegwill.
Also müsste gelten [mm] [/mm] = [mm] ?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Mi 25.03.2015 | | Autor: | andyv |
> > Hallo,
>
> Hi :)
>
> > sowas ähnliches solltes aus der linearen Algebra bzw. der
> > Funktionalanalysis bekannt sein:
> >
> > Ist X ein Prähilbertraum und [mm]\{e_\alpha|\alpha \in I\}[/mm]
> > eine ONB in X. So lässt sich jedes [mm]x \in X[/mm] entwickeln nach
> > den Basisvektoren der ONB und die Entwicklungskoeffizienten
> > sind [mm][/mm].
>
> Stimmt, das ist mir bekannt.
>
> > Da wir hier mit uneigentlichen HR Vektoren hantieren, ist
> > das mathematisch etwas schwieriger. Jedenfalls schreibt man
> > symbolisch [mm]|\rho>=\int \Psi(y) |y>[/mm]. Wende jetzt einen Bra
> > Zustand auf beide Seiten der Gleichung an.
>
> Was meinst du mit "HR"?
HR:=Hilbertraum
> Ich verstehe hier den Unterschied zwischen [mm]\rho[/mm] und [mm]\Psi[/mm]
> nicht.
[mm] $\rho$ [/mm] ist ein Element des HRs, [mm] $\Psi$ [/mm] ist eine ("hinreichend gutartige") Funktion oder um das obige aufzugreifen: Es ist $x [mm] \in [/mm] X$, aber $ [mm] ()\in l^2(I) [/mm] $.
Natürlich kannst du aber auch jeden Zustand durch die Funktion [mm] $\Psi$ [/mm] beschreiben. Genau so gut, kannst du auch bzgl. einer anderen Basis entwickeln und den Zustand etwa durch eine Wellenfunktion in Impulsdarstellung beschreiben. Die Darstellungen sind alle äquivalent und der HR ist isometrisch isomorph zum Vektorraum der ("hinreichend gutartigen") Funktionen.
>
> Es ist doch [mm]\Psi(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\Psi(y,t)dy}[/mm]
>
> Gleichzeitig ist [mm]\Psi(x,t)[/mm] also Koeffizient und Ergebnis.
> Das Ergebnis, der Zustand, wird aber jetzt mit [mm]\rho(t)[/mm]
> bezeichnet, weil man von der Ortsbasis wegwill.
> Also müsste gelten [mm][/mm] = [mm]?[/mm]
Nein, Bananen mit Aprikosen zu multiplizieren macht keinen Sinn. Es ist [mm] $\Psi(x,t)\in \mathbb{C}$ [/mm] und ergo [mm] $$ [/mm] nicht definiert.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Jellal |
> HR:=Hilbertraum
Achso, klar!
> [mm]\rho[/mm] ist ein Element des HRs, [mm]\Psi[/mm] ist eine ("hinreichend
> gutartige") Funktion oder um das obige aufzugreifen: Es ist
> [mm]x \in X[/mm], aber [mm]()\in l^2(I) [/mm].
> Natürlich kannst
> du aber auch jeden Zustand durch die Funktion [mm]\Psi[/mm]
> beschreiben. Genau so gut, kannst du auch bzgl. einer
> anderen Basis entwickeln und den Zustand etwa durch eine
> Wellenfunktion in Impulsdarstellung beschreiben. Die
> Darstellungen sind alle äquivalent und der HR ist
> isometrisch isomorph zum Vektorraum der ("hinreichend
> gutartigen") Funktionen.
Ok.
> > Es ist doch [mm]\Psi(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\Psi(y,t)dy}[/mm]
>
> >
> > Gleichzeitig ist [mm]\Psi(x,t)[/mm] also Koeffizient und Ergebnis.
> > Das Ergebnis, der Zustand, wird aber jetzt mit [mm]\rho(t)[/mm]
> > bezeichnet, weil man von der Ortsbasis wegwill.
> > Also müsste gelten [mm][/mm] = [mm]?[/mm]
>
> Nein, Bananen mit Aprikosen zu multiplizieren macht keinen
> Sinn. Es ist [mm]\Psi(x,t)\in \mathbb{C}[/mm] und ergo [mm][/mm]
> nicht definiert.
Bist du dir da sicher?
Ich kann die Orts-Wellenfunktion doch in der Basis der Ortseigenvektoren schreiben:
[mm] \Psi(x,t) =\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)c(y,t)dy} [/mm] mit der Koeffizientenfunktion c.
Wie du am Anfang gesagt hast, kann ich den Entwicklungskoeffizienten von zB. [mm] \delta(x-a) [/mm] bekommen, indem ich [mm] <\delta(x-a)|\Psi(x,t)> [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-a)\Psi(x,t) dx}=\Psi(a,t) [/mm] berechne.
Ich erkenne also, [mm] c(y,t)=\Psi(y,t)
[/mm]
--> [mm] \Psi(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\Psi(y,t)dy}
[/mm]
Soweit müsste das doch stimmen?
Und jetzt geht man von einem abstrakten Zustand [mm] |\rho> [/mm] aus, der in den Ortseigenfunktionen =:|x> entwickelt ist:
Dann bleibt die Wellenfunktion [mm] \Psi(x,t) [/mm] aber wie gerade der Koeffizient in der Entwicklung:
[mm] \Psi(x,t)=
[/mm]
Stimmt das bis hier erst mal?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 25.03.2015 | | Autor: | andyv |
> > HR:=Hilbertraum
>
> Achso, klar!
>
>
> > [mm]\rho[/mm] ist ein Element des HRs, [mm]\Psi[/mm] ist eine ("hinreichend
> > gutartige") Funktion oder um das obige aufzugreifen: Es ist
> > [mm]x \in X[/mm], aber [mm]()\in l^2(I) [/mm].
> > Natürlich
> kannst
> > du aber auch jeden Zustand durch die Funktion [mm]\Psi[/mm]
> > beschreiben. Genau so gut, kannst du auch bzgl. einer
> > anderen Basis entwickeln und den Zustand etwa durch eine
> > Wellenfunktion in Impulsdarstellung beschreiben. Die
> > Darstellungen sind alle äquivalent und der HR ist
> > isometrisch isomorph zum Vektorraum der ("hinreichend
> > gutartigen") Funktionen.
> Ok.
>
> > > Es ist doch [mm]\Psi(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\Psi(y,t)dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gleichzeitig ist [mm]\Psi(x,t)[/mm] also Koeffizient und Ergebnis.
> > > Das Ergebnis, der Zustand, wird aber jetzt mit
> [mm]\rho(t)[/mm]
> > > bezeichnet, weil man von der Ortsbasis wegwill.
> > > Also müsste gelten [mm][/mm] = [mm]?[/mm]
> >
> > Nein, Bananen mit Aprikosen zu multiplizieren macht keinen
> > Sinn. Es ist [mm]\Psi(x,t)\in \mathbb{C}[/mm] und ergo [mm][/mm]
> > nicht definiert.
>
> Bist du dir da sicher?
Ja.
> Ich kann die Orts-Wellenfunktion doch in der Basis der
> Ortseigenvektoren schreiben:
> [mm]\Psi(x,t) =\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)c(y,t)dy}[/mm]
> mit der Koeffizientenfunktion c.
> Wie du am Anfang gesagt hast, kann ich den
> Entwicklungskoeffizienten von zB. [mm]\delta(x-a)[/mm] bekommen,
> indem ich [mm]<\delta(x-a)|\Psi(x,t)>[/mm] =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-a)\Psi(x,t) dx}=\Psi(a,t)[/mm]
> berechne.
Wie ich schon sagte, [mm]<\delta(x-a)|\Psi(x,t)>[/mm] ist (auch) nicht definiert.
> Ich erkenne also, [mm]c(y,t)=\Psi(y,t)[/mm]
> --> [mm]\Psi(x,t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{ \delta(x-y)\Psi(y,t)dy}[/mm]
>
> Soweit müsste das doch stimmen?
Die Gleichungen stimmen jedenfalls. Allerdings ist das trivial wahr bzw. eine Schreibweise für's [mm] $\delta$.
[/mm]
> Und jetzt geht man von einem abstrakten Zustand [mm]|\rho>[/mm]
> aus, der in den Ortseigenfunktionen =:|x> entwickelt ist:
> Dann bleibt die Wellenfunktion [mm]\Psi(x,t)[/mm] aber wie gerade
> der Koeffizient in der Entwicklung:
> [mm]\Psi(x,t)=[/mm]
Ja.
>
> Stimmt das bis hier erst mal?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Do 26.03.2015 | | Autor: | Jellal |
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> Wie ich schon sagte, [mm]<\delta(x-a)|\Psi(x,t)>[/mm] ist (auch)
> nicht definiert.
Kann es sein, dass du das etwas zu mathematisch siehst? Das Integral ist doch definiert, und das ist doch gerade das Skalarprodukt aus der Delta-Funktion und der Wellenfunktion. Verstehe nicht ganz, warum das nicht definiert sein soll, so berechnet man doch immer die Koeffizienten in der Entwicklung :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Fr 27.03.2015 | | Autor: | andyv |
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> >
> > Wie ich schon sagte, [mm]<\delta(x-a)|\Psi(x,t)>[/mm] ist (auch)
> > nicht definiert.
>
> Kann es sein, dass du das etwas zu mathematisch siehst?
Nein, [mm] $|\Psi(x,t)>$ [/mm] z.B. ist kein Element des Hilbertraums im Gegensatz etwa zu $|x>$ oder [mm] $|\rho(t)>$.
[/mm]
Natürlich wird das in der Physiker Community unterschiedlich streng gehandhabt. Ich sehe auch ab und zu Leute, die sowas (ähnliches) schreiben. Aendert aber nichts daran, dass das Unfug ist.
Und wenn du es genau willst, ist $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-a)\Psi(x,t) dx}$ [/mm] nur eine Schreibweise, eine Schreibweise für den wohldefinierten Ausdruck [mm] $<\delta_a|\Psi(\cdot,t)>\equiv \delta_a(\Psi(\cdot,t)):=\Psi(a,t)$.
[/mm]
In keinem Fall ist das wörtlich etwa als Lebesgue-Integral zu lesen.
> Das Integral ist doch definiert, und das ist doch gerade das
> Skalarprodukt aus der Delta-Funktion und der
> Wellenfunktion. Verstehe nicht ganz, warum das nicht
> definiert sein soll, so berechnet man doch immer die
> Koeffizienten in der Entwicklung :(
>
Liebe Grüße
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