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| Aufgabe | Bei der Herstellung von Glühbirnen sind 10 % fehlerhaft. Fehlerhafte Glühbirnen werden bei der Endkontrolle mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % erkannt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Endkontrolle fehlerhafte Glühbirnen in den Handel kommen?
b) Der Händler wirbt da: "Weniger als 2 % der Glühbirnen im Handel sind fehlerhaft." Nimm dazu Stellung.
c) Du möchtest die Angabe aus b) überprüfen. Welches Vorgehen ist dabei sinnvoll? |
a) P(fehlerhafte Glühbirne im Handel) = P(fehlerhafte Glühbirne und bei der Endkontrolle nicht als fehlerhaft erkannt) = P(fehlerhafte Glühbirne) * P(bei der Endkontrolle nicht als fehlerhaft erkannt) = 0,1 * (1-0,85) = 0,1 * 0,15 = 0,015 = 1,5%
b) Muss nicht stimmen, da die Wahrscheinlichkeit nicht der "echten" relativen Häufigkeit entspricht. Beim Abpacken der Glühbirnen in Kartons könnte in einem Karton z.B. mehr als 2% der Glühbirnen fehlerhaft sein. Außerdem kommt es drauf an, wie viele Glühbirnen am Tag hergestellt werden und damit in den Handel kommen. Je mehr Glühbirnen, umso mehr stimmt die Wahrscheinlichkeit mit der relativen Häufigkeit überein.
c) 1000 Glühbirnen kontrollieren. Es müssen weniger als 20 fehlerhaft sein.
Man kann auch mehr kontrollieren, das ist aber viel Arbeit, bei weniger ist die Stichprobe eventuell ungenau (100 Glühbirnen, nur 1 darf fehlerhaft sein).
Geht hauptsächlich um sachliche Begründung bei b) und c).
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 31.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Bei der Herstellung von Glühbirnen sind 10 % fehlerhaft.
> Fehlerhafte Glühbirnen werden bei der Endkontrolle mit
> einer Wahrscheinlichkeit von 85 % erkannt.
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz
> Endkontrolle fehlerhafte Glühbirnen in den Handel kommen?
> b) Der Händler wirbt da: "Weniger als 2 % der Glühbirnen
> im Handel sind fehlerhaft." Nimm dazu Stellung.
> c) Du möchtest die Angabe aus b) überprüfen. Welches
> Vorgehen ist dabei sinnvoll?
> a) P(fehlerhafte Glühbirne im Handel) = P(fehlerhafte
> Glühbirne und bei der Endkontrolle nicht als fehlerhaft
> erkannt) = P(fehlerhafte Glühbirne) * P(bei der
> Endkontrolle nicht als fehlerhaft erkannt) = 0,1 * (1-0,85)
> = 0,1 * 0,15 = 0,015 = 1,5%
Ich würde hier eine etwas andere Rechnung anstellen. Wir
müssen doch davon ausgehen, dass diejenigen Glühbirnen,
die bei der Endkontrolle als fehlerhaft erkannt werden,
aussortiert und eliminiert werden und damit gar nicht in den
Verkauf gelangen. In den "Handel" gelangen also nicht
100% der anfänglich produzierten, sondern nur deren 91.5%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine dieser ausgelieferten
Birnen dann trotzdem noch fehlerhaft ist, beträgt also
[mm] $\frac{1.5}{91.5}\ \approx\ [/mm] 1.64$%
Das sind allerdings immer noch weniger als 2% (im Durchschnitt).
Kritisieren muss man aber eindeutig die Fragestellung in dieser
Teilaufgabe: Anstatt
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Endkontrolle
fehlerhafte Glühbirnen in den Handel kommen?"
sollte die Frage wohl so lauten:
"Wie groß ist die W'keit, dass eine beliebig herausgegriffene,
in den Handel gelangende Glühbirne (von diesem Lieferanten)
fehlerhaft ist ?"
Die Antwort auf die erstere Frage wäre bei nicht nur ganz
kurzzeitiger Produktion nämlich, dass diese Wahrscheinlichkeit
gleich 1 ist !!
> b) Muss nicht stimmen, da die Wahrscheinlichkeit nicht der
> "echten" relativen Häufigkeit entspricht. Beim Abpacken
> der Glühbirnen in Kartons könnte in einem Karton z.B.
> mehr als 2% der Glühbirnen fehlerhaft sein. Außerdem
> kommt es drauf an, wie viele Glühbirnen am Tag hergestellt
> werden und damit in den Handel kommen. Je mehr Glühbirnen,
> umso mehr stimmt die Wahrscheinlichkeit mit der relativen
> Häufigkeit überein.
Richtige Überlegungen.
Falls jedoch die anfangs gelieferten Angaben (mit den 10%
fehlerhaft produzierten und mit den 85% davon in der
Endkontrolle eliminierten Birnen) auf einer früheren und
seriösen Studie beruhen, kann man dem Händler
wenigstens nicht vorwerfen, mutwillig falsche (geschönte)
Versprechen zu machen.
> c) 1000 Glühbirnen kontrollieren. Es müssen weniger als
> 20 fehlerhaft sein.
> Man kann auch mehr kontrollieren, das ist aber viel
> Arbeit, bei weniger ist die Stichprobe eventuell ungenau
> (100 Glühbirnen, nur 1 darf fehlerhaft sein).
Einen passenden Test zu Aufgabenteil (c) könnte bzw. sollte
man wohl natürlich noch präzisieren, indem man einen
Hypothesentest mit der Nullhypothese "im Mittel sind
weniger als 2% der Glühbirnen fehlerhaft" und z.B. mit
einer Stichprobennahme mit (beispielsweise) n=1000
(eventuell auch etwas weniger) und mit einer Vorgabe
für das Signifikanzniveau exakt formuliert
und dafür den Ablehnungsbereich ermittelt.
Die entsprechende Schranke wird vermutlich nicht exakt
bei 20 liegen.
LG , Al-Chwarizmi
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