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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 Di 30.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
| Aufgabe | Man zeige, dass durch die Gleichung
5 [mm] x^2 [/mm] + 2xy + 5 [mm] y^2 [/mm] + 10x - 2y -6 = 0
im [mm] \IR^2 [/mm] eine Ellipse definiert ist. Ferner bestimme man ihren Mittelpunkt ihr Hauptachsen doe Länge de Achsenabschitte und skizziere die Wlippse |
So. eine Elipse ist ja so definiert
[mm] x^2 [/mm] / [mm] a^2 [/mm] - [mm] y^2/b^2 [/mm] =1
muss ich nun auch mit hilfe einer matrix die eulklidische normalform finden und diese dann so änder, dass ich auf die gleichung komme?
den mittelpunkt etc. kann ich dann wohl daraus bestimmen.
danke schon mal für eure hilfe.
grüße
Ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt und hoffe deshalb auf schnell hilfe.
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Hallo,
> So. eine Elipse ist ja so definiert
>
> [mm]x^2[/mm] / [mm]a^2[/mm] - [mm]y^2/b^2[/mm] =1
Ja, schon. Die von Dir untersuchte Ellipse liegt allerdings nicht parallel zu den Achsen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> muss ich nun auch mit hilfe einer matrix die eulklidische
> normalform finden und diese dann so änder, dass ich auf
> die gleichung komme?
Ja.
> den mittelpunkt etc. kann ich dann wohl daraus bestimmen.
>
> danke schon mal für eure hilfe.
>
> grüße
Viel Erfolg!
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Man zeige, dass durch die Gleichung
> 5 [mm]x^2[/mm] + 2xy + 5 [mm]y^2[/mm] + 10x - 2y -6 = 0
>
> im [mm]\IR^2[/mm] eine Ellipse definiert ist. Ferner bestimme man
> ihren Mittelpunkt, ihr Hauptachsen, die Länge der
> Achsenabschitte und skizziere die Ellipse
> So. eine Elipse ist ja so definiert
>
> [mm]x^2/a^2[/mm] - [mm]y^2/b^2[/mm] =1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein. Dies wäre eine Hyperbelgleichung.
Die Ellipsengleichung hat ein Pluszeichen !
> muss ich nun auch mit hilfe einer matrix die euklidische
> normalform finden und diese dann so änder, dass ich auf
> die gleichung komme?
>
> den mittelpunkt etc. kann ich dann wohl daraus bestimmen.
Es gibt verschiedene Wege, um Lage und Hauptachsen
eines Kegelschnitts zu finden. Ein möglicherweise
hilfreicher Link: ![[]](/images/popup.gif) Kegelschnitte
Die vorliegende Ellipse ist in gedrehter Lage.
Zur Bestimmung des Drehwinkels [mm] \varphi [/mm] gibt es eine
einfache Formel, welche hier auf [mm] \varphi=45° [/mm] führt.
Man könnte also z.B. zuerst das Koordinaten-
system um 45° drehen mit der Substitution
$\ [mm] x=\bruch{x'-y'}{\sqrt{2}}$ [/mm]
$\ [mm] y=\bruch{x'+y'}{\sqrt{2}}$ [/mm]
In x',y' sollte sich dabei eine Gleichung ohne Pro-
duktglied x'y' ergeben. Diese Gleichung lässt sich
dann mit der Methode der "quadratischen Ergänzung"
auf die Form
[mm] A*(x'-u)^2+B*(y'-v)^2=C
[/mm]
bringen oder eben auch auf die Form
[mm] \bruch{(x'-u)^2}{a^2}+\bruch{(y'-v)^2}{b^2}=1
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Di 30.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
danke für eure antworten. ich werd mich gleich mal dran machen und schauen ob ichs hin bekomme. wenn ich fertig bin oder probleme hab melde ich mich nochmal...
dankeschön!
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 30.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
meine ellipse hat nun die form:
[mm] \bruch{(x+2)^2}{22} [/mm] + [mm] \bruch{11*(y-1)^2}{3} [/mm] = 1
Kann das stimmen oder habe ich mich mal wieder verrechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 30.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nach meiner Rechng ist deine Falsch, asserdem brauchst du ja noch die Winkel.
Besser du fuehrst deine Rechng vor.
Gruss leduart
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Hallo
für die ellipsenfkt bekomme ich ein ergebnis mit ewig vielen wurzeln;
viell kann mir ja jemand sagen was ich da falsch gemacht habe.
für die gleichung bekomme ich;
[mm] (x,y)*\pmat{5 & -1 \\ -1 & 5}*\pmat{x\\y} [/mm] + (10, [mm] -2)*\pmat{x\\y} [/mm] - 6 = 0
dafür die EW und EV:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 6 -> [mm] \pmat{-1\\1} [/mm] -> normiert: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{-1\\1}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = 4 -> [mm] \pmat{1\\1} [/mm] -> normiert: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{1\\1}
[/mm]
=> [mm] Q=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{-1 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
D = [mm] \pmat{6 & 0 \\ 0 & 4}
[/mm]
das dann ausgerrechnet ergibt dann folgende gleichung:
[mm] 6x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] - [mm] \bruch{12}{\wurzel{2}}x [/mm] + [mm] \bruch{8}{\wurzel{2}}y [/mm] - 6 = 0
durch quadratische ergänzung ergab sich dann:
[mm] (x-\bruch{1}{\wurzel{2}})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{2}{\wurzel{6}}y [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{6}}{3*\wurzel{2}})^2 [/mm] - [mm] \bruch{3-\wurzel{6}}{3*\wurzel{2}}
[/mm]
den übrigen teil auf die andere seite und dann dadurch nochmal geteilt ergab sich:
[mm] \bruch{(x-\bruch{1}{\wurzel{2}})^2}{\bruch{3\wurzel{2}-\wurzel{6}+3}{3\wurzel{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{(\bruch{2}{\wurzel{6}}y + \bruch{\wurzel{6}}{3*\wurzel{2}})^2}{\bruch{3\wurzel{2}-\wurzel{6}+3}{3\wurzel{2}}} [/mm] = 1
kann mir jemand sagen was daran falsch ist?
ich kann mir nicht vorstellen, dass das das ergebnis sein soll
vielen dank schonmal in voraus
lg
chrissi
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ich glaub ich habe meinen fehler gefunden:
falsche normierte Vektoren
meine neue form wäre:
[mm] \bruch{6(x-\bruch{1}{2}\wurzel{2})^2}{7} [/mm] + [mm] \bruch{4(y+\bruch{1}{2}\wurzel{2})^2}{7} [/mm] = 1
ist das korrekt?
lg
chrissi
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Also ich habe raus:
[mm] \left(\frac{(x'')^2}{(\frac{1}{2})^2}+\frac{(y'')^2}{(\frac{1}{\sqrt{6}})^2}\right)\cdot \frac{1}{11}-1=0
[/mm]
Könnte das jemand bitte bestätigen?
Wie bekommt man denn nun Mittelpunkt, Hauptachsen und Länge der Achsenabschnitte raus?
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nee, das war wohl blödsinn  sorry
gruß gb
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hi chrissi
also, ich habe im zähler das gleiche stehen wie du, im nenner allerdings 11 statt deiner 7. meiner meinung nach hast du einen kleinen fehler bei der quadratischen ergänzung gemacht.
mal an einem term gezeigt:
du hast irgendwann dastehen
[mm] $6(x^2-\frac{2}{\sqrt2}x)$, [/mm] das soll jetzt quad. ergänzt werden:
$$ [mm] 6[(x^2-\frac{2}{\sqrt2}x [/mm] + [mm] \frac{1}{2}) [/mm] - [mm] \frac{1}{2}] [/mm] = [mm] 6[(x-\frac{1}{\sqrt2})^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}] [/mm] $$ und wenn du die eckige klammer noch auflöst, musst du auch das [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] mit 6 multiplizieren. das ganze auch beim andern term, entsprechend mit 4. ich denke, das hast du vergessen, dann kommen am ende nämlich deine 7 raus. wenn du also deine "ergänzung" noch mit dem entsprechenden vor-faktor multiplizierst kommt für den nenner am schluss 11 raus - und da wir das dann beide haben bin ich zuversichtlich, dass es stimmt 
hoffe das war verständlich - gruß gb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 01.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
an der Stelle
$ [mm] 6x^2 [/mm] $ + $ [mm] 4y^2 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{12}{\wurzel{2}}x [/mm] $ + $ [mm] \bruch{8}{\wurzel{2}}y [/mm] $ - 6 = 0 hab ich
$ [mm] 6x^2 [/mm] $ + $ [mm] 4y^2 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{12}{\wurzel{2}}y [/mm] $ + $ [mm] \bruch{8}{\wurzel{2}}x [/mm] $ - 6 = 0
damit wird der rest auch anders.
Gruss leduart
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> Hallo
> an der Stelle
> [mm]6x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] - [mm]\bruch{12}{\wurzel{2}}x[/mm] +
> [mm]\bruch{8}{\wurzel{2}}y[/mm] - 6 = 0 hab ich
> [mm]6x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] - [mm]\bruch{12}{\wurzel{2}}y[/mm] +
> [mm]\bruch{8}{\wurzel{2}}x[/mm] - 6 = 0
> damit wird der rest auch anders.
liegt das nicht einfach an der wahl wie ich Q wähle?
ich mein Q besteht ja aus den normierten vektoren und es macht doch sicher einen Unterschid ob ich [mm] \pmat{-1 & 1 \\ 1 & 1} [/mm] habe oder ob ich [mm] \pmat{1 & 1 \\ -1 & 1} [/mm] habe;
oder nicht?
gibts denn ne Vorschrift wie ich die normierten Vektoren in Q anordne?
> Gruss leduart
>
lg
chrissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 03.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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