Quadriken < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:57 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei V ein dreidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis S. Für x [mm] \in [/mm] V sei [mm] x_{s} [/mm] = [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}).
[/mm]
a) Es seien
[mm] p_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}
[/mm]
[mm] p_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{2}^{2}x_{3}^{2}+x_{3}^{2}
[/mm]
[mm] p_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}-2x_{2}x_{3}+6x_{3}^{2}
[/mm]
Die Niveauflächen welcher dieser Polynome sind homogene Quadriken?
b) Welche der homogenen Quadriken aus a) sind Ellipsoide? |
Hallo 
Hab bei dieser Aufgabe leider ein paar Schwierigkeiten, da wir dieses Thema noch nicht wirklich hatten...
zu a) da hatte ich raus, dass [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{3} [/mm] homogene Quadriken sind
zu b) Jetzt kommt mein Problem, dass ich mir nicht wirklich sicher bin, wie man das berechnet. Hab mich jetzt an Wikipedia gehalten..
zu [mm] p_{1}:
[/mm]
In Matrizenschreibweise lautet die Gleichung:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}^{T}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = 0
Die Eigenwerte sind schonmal sehr hässlich: [mm] \lambda_{1}=6, \lambda_{2}=3+\wurzel{2}, \lambda_{3}=3-\wurzel{2}
[/mm]
Eigenvektoren:
[mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{\wurzel{2}-1 \\ 1 \\ 0}, v_{3}= \vektor{-\wurzel{2}-1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
Normieren:
[mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{\bruch{\wurzel{2}-1}{4-2\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{4-2\wurzel{2}} \\ 0}, v_{3}=\vektor{\bruch{-\wurzel{2}-1}{4+2\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{4+2\wurzel{2}} \\ 0}
[/mm]
Matrix T = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{\wurzel{2}-1}{4-2\wurzel{2}} & \bruch{-\wurzel{2}-1}{4+2\wurzel{2}} \\ 0 & \bruch{1}{4-2\wurzel{2}} & \bruch{1}{4+2\wurzel{2}} \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] T^{-1}AT [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3+\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3-\wurzel{2}}
[/mm]
Nun [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\y_{3}}^{T}*\pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3+\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3-\wurzel{2}}*\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\y_{3}}=0
[/mm]
[mm] 6y_{1}^{2}+(3+\wurzel{2})y_{2}^{2}+(3-\wurzel{2})y_{3}^{2}=0
[/mm]
Transformiert in [mm] z_{1},z_{2},z_{3}:
[/mm]
[mm] \bruch{z_{1}^{2}}{(\bruch{1}{\wurzel{6}})^{2}}+\bruch{z_{2}^{2}}{(\bruch{1}{3+\wurzel{2}})^{2}}+\bruch{z_{3}^{2}}{(\bruch{1}{3-\wurzel{2}})^{2}}=0
[/mm]
Und laut Wikipedia wäre dies jetzt nur ein Punkt.
Stimmt das so? Habe ich mir jetzt so alles irgendwie aus den Fingern gesaugt...
LG
Topologe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Muss man nicht einfach nur auf positive definitheit prüfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 02.06.2013 | | Autor: | Topologe |
Weiss nicht, muss man?
|
|
|
| |
|
hab halt diese Definition gefunden:
Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix Q = (qij)
(http://www.mathepedia.de/Ellipsoid.aspx)
Also würde daraus dann ja zumindestens Folgen: nicht pos. definit => nicht ellipsoid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 02.06.2013 | | Autor: | Topologe |
Hört sich schonmal gut an. Danke für den Tip
|
|
|
|
