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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:06 Fr 08.01.2016 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | Bestimme euklidische NF
[mm] Q_1: x^2_1 [/mm] + [mm] 4x_1x_2 [/mm] + [mm] 4x^2_2 [/mm] + [mm] 4x_1 [/mm] − [mm] 2x_2 [/mm] + 1 =0
[mm] Q_2: [/mm] 3 [mm] x^2_1 [/mm] + 2 [mm] x_1 x_2 [/mm] + 3 [mm] x^2_2 [/mm] − 2 [mm] x_1 [/mm] + 10 [mm] x_2 [/mm] − 5 =0 |
Hallo!
Bei [mm] Q_1 [/mm] funktioniert meine übliche Bereichnung:
[mm] Q_1: [/mm] x^TAx+b^Tx+c=0
--> Eigenwerte, Eigenvektoren, (normierte) Eigenbasis B und Drehmatrix D zu A bestimmen
--> Variablentransformation
-->ggf. noch quadratisch Ergänzen und Substituieren
--> eukl. NF von Q
So weit so gut.
Bei [mm] Q_2 [/mm] funktioniert dieses Vorgehen aber irgendwie nichtmehr.
Meine Lösung geht hier den Weg über den Mittelpunkt:
[mm] Am+\bruch{1}{2}b=0
[/mm]
--> m= [mm] -(\bruch{1}{2} A^{-1}b)
[/mm]
Var.transf. #1 x:=v+m
--> [mm] v^TAv=-(\bruch{1}{2} [/mm] b^Tm+c)
Var.transf. #2 v=Bw
--> [mm] w^TDw=-(\bruch{1}{2} [/mm] b^Tm+c)
--> Umformen ergibt eukl. NF
Wieso funktioniert das erste Vorgehen nicht bei [mm] Q_2? [/mm] Oder müssten beide Verfahren gleichermaßen fuktionieren und ich verrechne mich nur ständig?!
Woran erkenne ich an einer Quadrik, welches der beiden Verfahren anzuwenden ist?
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> Bestimme euklidische NF
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> [mm]Q_1: x^2_1[/mm] + [mm]4x_1x_2[/mm] + [mm]4x^2_2[/mm] + [mm]4x_1[/mm] − [mm]2x_2[/mm] + 1 =0
> [mm]Q_2:[/mm] 3 [mm]x^2_1[/mm] + 2 [mm]x_1 x_2[/mm] + 3 [mm]x^2_2[/mm] − 2 [mm]x_1[/mm] + 10 [mm]x_2[/mm] −
> 5 =0
>
> Hallo!
>
> Bei [mm]Q_1[/mm] funktioniert meine übliche Bereichnung:
> [mm]Q_1:[/mm] x^TAx+b^Tx+c=0
> --> Eigenwerte, Eigenvektoren, (normierte) Eigenbasis B
> und Drehmatrix D zu A bestimmen
> --> Variablentransformation
> -->ggf. noch quadratisch Ergänzen und Substituieren
>
> --> eukl. NF von Q
>
> So weit so gut.
>
> Bei [mm]Q_2[/mm] funktioniert dieses Vorgehen aber irgendwie
> nichtmehr.
Hallo,
um der Sache auf den Grund gehen zu können, wäre es mal gut, wenn Du vorrechnest und zeigst, wann es weshalb scheitert.
LG Angela
> Meine Lösung geht hier den Weg über den Mittelpunkt:
> [mm]Am+\bruch{1}{2}b=0[/mm]
> --> m= [mm]-(\bruch{1}{2} A^{-1}b)[/mm]
>
> Var.transf. #1 x:=v+m
> --> [mm]v^TAv=-(\bruch{1}{2}[/mm] b^Tm+c)
> Var.transf. #2 v=Bw
> --> [mm]w^TDw=-(\bruch{1}{2}[/mm] b^Tm+c)
>
> --> Umformen ergibt eukl. NF
>
>
> Wieso funktioniert das erste Vorgehen nicht bei [mm]Q_2?[/mm] Oder
> müssten beide Verfahren gleichermaßen fuktionieren und
> ich verrechne mich nur ständig?!
> Woran erkenne ich an einer Quadrik, welches der beiden
> Verfahren anzuwenden ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:29 Sa 09.01.2016 | | Autor: | SoWhat |
Hallo,
ich denke, dass ich es auch ohne Rechnung begründen kann.
Den Weg über den Mittelpunkt geht man, wenn ein Symmetriepunkt existiert, also z.B. bei einer Ellipse und einer Hyperbel.
D.g. Eigenwerte ungleich 0, det(A) ungleich 0.
Deshalb funktioniert das damit auch.
Man sieht also schon an der det(A) die man ja quasi ablesen und im Kopf kurz berechnen kann, ob man dieses Verfahren anwenden muss
Wenn kein Symmetriepunkt, z.B. bei der Parabel, dann ist ein Eigenwert 0 und det(A)=0. Hier muss das andere Verfahren angewendet werden.
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> Hallo,
> ich denke, dass ich es auch ohne Rechnung begründen kann.
Hallo,
was meinst Du mit "es"?
Deine Frage war doch, woran man erkennt, daß man nicht mit Hauptachsentransformation arbeiten kann.
Ich meine: man kann bei jeder Quadrik mit HAT arbeiten.
Warum sollte es nicht funktionieren?
(Oder ist mir irgendetwas Wesentliches entfallen? Kann ja passieren.)
LG Angela
LG Angela
> Den Weg über den Mittelpunkt geht man, wenn ein
> Symmetriepunkt existiert, also z.B. bei einer Ellipse und
> einer Hyperbel.
> D.g. Eigenwerte ungleich 0, det(A) ungleich 0.
> Deshalb funktioniert das damit auch.
> Man sieht also schon an der det(A) die man ja quasi
> ablesen und im Kopf kurz berechnen kann, ob man dieses
> Verfahren anwenden muss
>
> Wenn kein Symmetriepunkt, z.B. bei der Parabel, dann ist
> ein Eigenwert 0 und det(A)=0. Hier muss das andere
> Verfahren angewendet werden.
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