Quadrik < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 27.01.2009 | | Autor: | abakus86 |
Hallo ihr!
Bin gerade in der Klausurvorbereitung und unter anderem sollen auch Quadriken drankommen. Ich habe nur pberhaupt nicht verstanden was ich da machen soll.
Könnte mir das jemand anhand eines Beispiels erklären?
Z.B. [mm] Q(x_{1},x_{2})= \bruch{5}{2}x_{1}²+x_{1}x_{2}+\bruch{5}{2}x_{2}²+4x_{1}-6x_{2}+8
[/mm]
War mal eine Aufgabe auf einem Übungsblatt. Diese Quadrik soll man nun durch Rotation und Translation auf folgende Form bringen:
[mm] Q=\lambda_{1}z_{1}²+\lambda_{2}z_{2}²+c
[/mm]
Ich hab schon überall im Internet nach einer Erklärung gesucht, aber da steht das alles irgendwie anders als wir es gemacht haben.
Wie funktioniert eine Rotation und eine Translation bzw was muss ich dabei mit meiner Quadrik machen?
Oh man bin echt total verzweifelt. Ist das wirklich so schwer?
Vielen Dank schonmal!
Gruß, abakus
|
|
| |
|
Hallo abakus86,
> Hallo ihr!
>
> Bin gerade in der Klausurvorbereitung und unter anderem
> sollen auch Quadriken drankommen. Ich habe nur pberhaupt
> nicht verstanden was ich da machen soll.
> Könnte mir das jemand anhand eines Beispiels erklären?
>
> Z.B. [mm]Q(x_{1},x_{2})= \bruch{5}{2}x_{1}²+x_{1}x_{2}+\bruch{5}{2}x_{2}²+4x_{1}-6x_{2}+8[/mm]
Nun die gängige Methode ist die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{\bruch{5}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{5}{2}}[/mm]
und dann deren zugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen.
Im [mm]\IR^{2}[/mm] gibt es auch die Möglichkeit einer ![[]](/images/popup.gif) Drehung
Durch dieses Vorgehen werden die gemischtquadratischen Glieder eliminiert.
Jetzt hast Du durch die Transformation
[mm]\pmat{x \\ y}=D*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}[/mm]
die Form [mm]\alpha*\tilde{x}^{2}+\beta*\tilde{y}^{2}+\gamma*\tilde{x}+\delta*\tilde{y}+c[/mm] erreicht.
Nächstes Ziel wird sein die linearen Glieder wegzutransformieren.
Dies erreichst Du durch eine Tranlaation:
[mm]\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}=\pmat{\overline{x} \\ \overline{y}}+t[/mm]
Danach hast Du die Form [mm]\alpha*\overline{x}^{2}+\beta*\overline{y}^{2}+\overline{c}[/mm] erreicht.
>
> War mal eine Aufgabe auf einem Übungsblatt. Diese Quadrik
> soll man nun durch Rotation und Translation auf folgende
> Form bringen:
>
> [mm]Q=\lambda_{1}z_{1}²+\lambda_{2}z_{2}²+c[/mm]
>
> Ich hab schon überall im Internet nach einer Erklärung
> gesucht, aber da steht das alles irgendwie anders als wir
> es gemacht haben.
>
> Wie funktioniert eine Rotation und eine Translation bzw was
> muss ich dabei mit meiner Quadrik machen?
>
> Oh man bin echt total verzweifelt. Ist das wirklich so
> schwer?
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> Gruß, abakus
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 27.01.2009 | | Autor: | abakus86 |
Okay schon mal vielen Dank für deine Antwort.
Dazu habe ich aber noch ein paar Fragen:
Wie kommst du auf diese Matrixdarstellung?
Müsste es nicht [mm] \pmat{ \bruch{5}{2} & 1 \\ 0 & \bruch{5}{2} } [/mm] sein?
Meinst du damit, dass ich meine Matrix diagonalisieren muss und D ist dann meine Diagonalmatrix?
Ich werds aber mal versuchen, danke!
|
|
|
| |
|
Hallo abakus86,
> Okay schon mal vielen Dank für deine Antwort.
> Dazu habe ich aber noch ein paar Fragen:
>
> Wie kommst du auf diese Matrixdarstellung?
Der quadratische Anteil läßt sich so schreiben:
[mm]\pmat{x & y}A\pmat{x \\ y}[/mm]
,wobei A eine symmmetrische Matrix ist.
Betrachte dies als Skalarprodukt, dieses muß symmetrisch sein.
> Müsste es nicht [mm]\pmat{ \bruch{5}{2} & 1 \\ 0 & \bruch{5}{2} }[/mm]
> sein?
Nein.
>
> Meinst du damit, dass ich meine Matrix diagonalisieren muss
> und D ist dann meine Diagonalmatrix?
D ist die Drehmatrix beziehungsweise die Matrix aus Eigenvektoren.
Wenn Du jetzt [mm]D^{t}AD[/mm] bildest,
dann muß diese Matrix eine Diagonalmatrix sein.
>
> Ich werds aber mal versuchen, danke!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mi 28.01.2009 | | Autor: | abakus86 |
Puh hätte ja nicht gedacht, dass ich das überhaupt mal verstehe oder irgendwas hinkriege. 
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe, du hast mich auf jeden Fall weiter gebracht.
Eine kleine Frage habe ich dennoch:
Wie funktioniert die Translation?
Also ich habe jetzt die Rotation gemacht:
Da kommt dann meine Diagonalmatrix [mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 6 } [/mm] raus, d.h. doch dass ich bei der Form: 4x'²+6y'²+4x'-6y'+8 bin oder?
Und jetzt müsste die Translation kommen, aber was ist mein t bzw wie bestimmte ich das? Da komme ich leider nicht weiter.
Vielen vielen Dank nochmal!!
|
|
|
| |
|
> Wie funktioniert die Translation?
>
> Also ich habe jetzt die Rotation gemacht:
> Da kommt dann meine Diagonalmatrix [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 6 }[/mm]
> raus, d.h. doch dass ich bei der Form: 4x'²+6y'²+4x'-6y'+8
> bin oder?
>
> Und jetzt müsste die Translation kommen, aber was ist mein
> t bzw wie bestimmte ich das? Da komme ich leider nicht
> weiter.
Hallo abakus,
das ist genau dasselbe wie die quadratische Ergänzung
beim Lösen einer quadratischen Gleichung. Beispiel:
$\ [mm] 4x^2+4x-15=0$
[/mm]
$\ [mm] 4(x^2+x)=15$
[/mm]
$\ [mm] 4(x^2+x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4})=15$
[/mm]
$\ [mm] 4(x^2+x+\bruch{1}{4})-1=15$
[/mm]
$\ [mm] 4*(x+\bruch{1}{2})^2=16$
[/mm]
$\ etc.$
(einmal für x', einmal für y')
LG Al-Chw.
|
|
|
|
