Quadratzahlen mit Legendre-Sym < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme alle [mm] a\in\IN, [/mm] so dass [mm] m_{k}(a):= [/mm] a+29k [mm] (k\in\IZ) [/mm] Quadratzahlen bzw. Biquadratzahlen bilden. |
Es muss, laut Dozent, irgendetwas mit dem Legendre-Symbol zu tun haben. Damit kann man doch aber nur quadratische Reste, keine Quadratzahlen berechnen, oder? Mir fehlt der Zusammenhang...
Außerdem verstehe ich nicht, warum ich nur die a's angeben soll, ob wohl die Quadratzahlen doch auch gleichzeitig von den k's abhängig sind.
Zur Information: Biquadratzahlen sind Zahlen der Form [mm] (z^{n})^{n}.
[/mm]
Hoffe auf eure Hilfe! Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Di 12.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man bestimme alle [mm]a\in\IN,[/mm] so dass [mm]m_{k}(a):=[/mm] a+29k
> [mm](k\in\IZ)[/mm] Quadratzahlen bzw. Biquadratzahlen bilden.
Ist damit gemeint, dass es irgendein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt so, dass $a + 29 k$ ein Quadrat bzw. ein Biquadrat ist? Ich gehe mal davon aus...
> Es muss, laut Dozent, irgendetwas mit dem Legendre-Symbol
> zu tun haben. Damit kann man doch aber nur quadratische
> Reste, keine Quadratzahlen berechnen, oder? Mir fehlt der
> Zusammenhang...
Der Zusammenhang ist folgender: wenn es irgendein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt und ein $b [mm] \in \IN$ [/mm] mit $a + 29 k = [mm] b^2$, [/mm] dann gilt $a [mm] \equiv b^2 \pmod{29}$.
[/mm]
Und andersherum, wenn $a [mm] \equiv b^2 \pmod{29}$ [/mm] ist mit $b [mm] \in \IN$, [/mm] dann gilt $29 [mm] \mid [/mm] (a - [mm] b^2)$ [/mm] und somit gibt es ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $a + 29 k = [mm] b^2$.
[/mm]
Also: genau dann gibt es in [mm] $m_k(a)$, [/mm] $k [mm] \in \IZ$ [/mm] ein Quadrat, wenn $a$ ein quadratischer Rest modulo 29 ist.
Genauso kannst du jetzt fuer Biquadrate vorgehen...
> Außerdem verstehe ich nicht, warum ich nur die a's angeben
> soll, ob wohl die Quadratzahlen doch auch gleichzeitig von
> den k's abhängig sind.
Sind sie, aber die $k$s dann explizit zu bestimmen ist aufwaendiger als nur die $a$s zu bestimmen (das geht ja einfach mit dem Legendre-Symbol).
> Zur Information: Biquadratzahlen sind Zahlen der Form
> [mm](z^{n})^{n}.[/mm]
Hier soll wohl $n = 2$ sein, oder? :)
LG Felix
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