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Ich glaube, ein neues Berechnungsverfahren für Quadratzahlen entdeckt zu haben: Die folgende Quadratzahl erhält man, wenn man zur Vorgänger-Quadratzahl die Differenz der Vorgänger- und der Vorvorgänger-Quadratzahl sowie die Zahl 2 addiert. (Überprüft bis zur Zahl 65000!)
Beispiel für die Quadratzahl 289: Die Vorvorgänger-Quadratzahl ist die Zahl 225. Die Vorgänger-Quadratzahl ist die Zahl 256. Bildet man die Differenz aus 256 und 225, so ergibt sich der Wert 31. Addiert man jetzt zur Vorgänger-Quadratzahl 256 den soeben erhaltenen Differenzwert 31 sowie die Zahl 2 hinzu, ergibt sich die folgende Quadratzahl, nämlich die 289. Ist dieses Berechnungsverfahren in der Literatur schon bekannt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Auf die Frage, ob das in der Literatur schon bekannt ist weiß ich keine Antwort, obwohl man es sich durch Logik leicht erklären kann. Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob es so ausdrücklich in irgendeinem Buch steht.
Aber unser Mathelehrer hat uns dieses verfahren damals auch schon erklärt ;)
Aber wenn du selbst drauf gekommen bist, find ich das schonmal klasse :)
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Hallo,
als Berechnungsverfahren wird es wohl kaum einer nutzen, aber es ist bekannt, dass die Differenzen aufeinanderfolgender Quadratzahlen gleich der aufsteigenden Folge der ungeraden Zahlen ist:
[mm] 1^2 [/mm] - [mm] 0^2 [/mm] = 1
[mm] 2^2 [/mm] - [mm] 1^2 [/mm] = 3
[mm] 3^2 [/mm] - [mm] 2^2 [/mm] = 5
[mm] 4^2 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm] = 7
[mm] 5^2 [/mm] - [mm] 4^2 [/mm] = 9
usw.
Allgemein:
[mm] (n+1)^2 [/mm] - [mm] n^2 [/mm] = 2n+1
Gruß
Martin
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Hallo TobiErras und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
toll, mit was du dich so beschäftigst!
> Ich glaube, ein neues Berechnungsverfahren für
> Quadratzahlen entdeckt zu haben: Die folgende Quadratzahl
> erhält man, wenn man zur Vorgänger-Quadratzahl die
> Differenz der Vorgänger- und der Vorvorgänger-Quadratzahl
> sowie die Zahl 2 addiert. (Überprüft bis zur Zahl 65000!)
> Beispiel für die Quadratzahl 289: Die
> Vorvorgänger-Quadratzahl ist die Zahl 225. Die
> Vorgänger-Quadratzahl ist die Zahl 256. Bildet man die
> Differenz aus 256 und 225, so ergibt sich der Wert 31.
> Addiert man jetzt zur Vorgänger-Quadratzahl 256 den soeben
> erhaltenen Differenzwert 31 sowie die Zahl 2 hinzu, ergibt
> sich die folgende Quadratzahl, nämlich die 289. Ist dieses
> Berechnungsverfahren in der Literatur schon bekannt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Mathematiker arbeiten gerne mit übersichtlichen Formeln, darum übersetze ich deine Idee mal:
sei n eine natürliche Zahl, also eine, mit der schon kleine Kinder zählen lernen.
Dann betrachten wir ihr Quadrat: [mm] n^2, [/mm] das Vorgänger-Quadrat: [mm] (n-1)^2 [/mm] und das Nachfolger-Quadrat: [mm] (n+1)^2
[/mm]
Nun sagst du:
[mm] $(n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + [mm] \left(n^2 - (n-1)^2 \right) [/mm] + 2$
Rechnen wir mal nach:
sei n = 3: [mm] $4^2 [/mm] = [mm] 3^2 [/mm] + [mm] (3^2-2^2)+2 [/mm] = 9 + (9 - 4) + 2 = 9+7 = 16$
sei n = 4: [mm] $5^2 [/mm] = [mm] 4^2 [/mm] + [mm] (4^2-3^2)+2 [/mm] = 16 + (16 - 9) + 2 = 16 + 7 + 2= 25$
Du siehst: zur Vorgängerquadratzahl addiert man immer eine ungerade Zahl:
sei n = 4: [mm] $5^2 [/mm] = [mm] 4^2 [/mm] + [mm] (4^2-3^2)+2 [/mm] = 16 + [(16 - 9) + 2] = 16 + [7 + 2]= 16 + 9 = 16 + (2*4 + 1) = 25$
Genau dies hat Martin dir auch schon aufgeschrieben:
Die Differenz zwischen zwei Quadratzahlen ist stets eine ungerade Zahl: [mm] $(n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + (2n + 1)$
Genau diese Regel hast du auf einem anderen Weg auch herausgefunden - toll! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Mach weiter so - aus dir wird noch ein großer Mathematiker!
Gruß informix
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