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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Mo 03.11.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Gegeben seien Trapezregel (TR) und Mittelpktsregel (MR) zur numerischen Approximation eines Integrals.
Bestimme die Knoten und Gewichte der QF
[mm] \alpha\cdot [/mm] TR + [mm] \beta\cdot [/mm] MR [mm] \approx \integral_{a}^{b}f(x)dx
[/mm]
in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Für welche Wahl der Parameter wird die Ordnung maximal? |
hallo
erstmal ist TR und MR folg. definiert
TR: [mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx \approx \bruch{(b-a)}{2}(f(a)+f(b))
[/mm]
MR: [mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx \approx (b-a)f(\bruch{a+b}{2})
[/mm]
das habe ich dann eingesetzt:
[mm] \alpha\cdot [/mm] TR + [mm] \beta\cdot [/mm] MR = [mm] \alpha\cdot (\bruch{(b-a)}{2}(f(a)+f(b))) [/mm] + [mm] \beta\cdot ((b-a)f(\bruch{a+b}{2}))
[/mm]
ich habedie klammer aufgelöst und erhalte habe irgendwie komme ich nicht weiter daich knoten und gewichte so nicht bestimmen kann.
gewichte kann man theoretisch mit den lagrange polynom bestimmen d.h
falls [mm] b_i [/mm] Gewichte dann [mm] b_i=\integral_{0}^{1}L_i(x)dx [/mm] mit [mm] L_i(x)=\bruch{\produkt_{i\not=j}x-c_i}{\produkt_{i\not=j}c_i-c_j}
[/mm]
kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Di 04.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bestimme [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so, dass [mm] f(x)=x^2 [/mm] exakt bestimmt wird. Einfach [mm] f(x)=x^2. [/mm] dann zeige das dann auch [mm] x^3 [/mm] exakt integriert wird und man [mm] x^4 [/mm] nicht erreichen kann.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Di 04.11.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für deine hilfe. wie bist du auf [mm] f(x)=x^2 [/mm] gekommen? ist es so weil MR und TR die Ordnung 2 haben und somit polynome sein müssen die den grad kleiner gleich 2 haben, oder?
aber muss es dann nicht folgende darstellung haben aufgrund die koeffiezienten, die wir nicht kennen.
[mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IR [/mm]
aber wie bestimme ich die knoten bzw. gewichte?
gruß,
mimo2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 05.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn das Verfahren [mm] f(x)=x^2 [/mm] und damit natürlich auch [mm] f(x)=a*x^2 [/mm] exakt löst, dann auch [mm] ax^2+bx+c, [/mm] da ja lineare fkt sowieso exakt integriert werden.
jetzt solltest du noch zeigen, dass damit auch Polynome 3 ten Grades exakt integriert werden, indem du benutzt, das [mm] x^3 [/mm] von -a bis +a sowieso exakt integriert wird ( da 0 rauskommt) , und man jedes Polynom 3ten Gades von a bis b durch abziehen eines 2 ten Grades auf diese Form bringen kann.
(jedes Verfahren, das [mm] x^{2n} [/mm] exakt integriert tut das auch mit [mm] x^{2n+1}
[/mm]
(histrorisch sollte man wissen schon Archimedes war stolz darauf zu wissen, dass die Parabel die Flache zwischen Sehne und Tangente im Verhältnis eins zu zwei teilt und konnte deshalb die Fläche bestimmen!)
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 04.11.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe deinen hinweis befolgt und folg gemacht:
also QF ist:
[mm] \alpha\cdot((\bruch{b-a}{2})(f(a)-f(b)))+\beta\cdot((b-a)f(\bruch{a+b}{2}))
[/mm]
dann ist
für p(x)=1 : [mm] \integral_{a}^{b}1dx=(b_a)=QF(p)=\alpa(b-a)+\beta(b-a) \rightarrow 1=\alpha+\beta
[/mm]
dasselbe erhalte auch für p(x)=x
dann jetzt für [mm] p(x)=x^2: \integral_{b}^{a}x^2dx=\bruch{1}{3}(b^3-a^3)=\alpha(\bruch{b-a}{2}(a^2+b^2))+\beta((b-a)(\bruch{a^2+2ab+b^2}{4}))
[/mm]
dann habe ich die gleichuuung mit [mm] \bruch{2}{b-a} [/mm] multipliziert und erhalte dann:
[mm] \alpha(a^2+b^2)+\beta(a^2+2ab+b^2)=\bruch{2}{3}(b^2+ab+a^2)
[/mm]
somit habe ich 2 gleichungen für 2 unbekannte. mit LGS erhält man dann für
[mm] \beta=\bruch{2}{3} [/mm] und für [mm] \alpha=\bruch{1}{3}
[/mm]
ist es soweit richtig?
sind [mm] \beta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] meine knoten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Mi 05.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo mimo1,
> ich habe deinen hinweis befolgt und folg gemacht:
> also QF ist:
>
> [mm]\alpha\cdot((\bruch{b-a}{2})(f(a)-f(b)))+\beta\cdot((b-a)f(\bruch{a+b}{2}))[/mm]
[mm]\alpha\cdot((\bruch{b-a}{2})(f(a)[/mm]+[mm]f(b)))+\beta\cdot((b-a)f(\bruch{a+b}{2}))[/mm]
>
> dann ist
> für p(x)=1 :
> [mm]\integral_{a}^{b}1dx=(b_a)=QF(p)=\alpa(b-a)+\beta(b-a) \rightarrow 1=\alpha+\beta[/mm]
>
> dasselbe erhalte auch für p(x)=x
>
> dann jetzt für [mm]p(x)=x^2: \integral_{b}^{a}x^2dx=\bruch{1}{3}(b^3-a^3)=\alpha(\bruch{b-a}{2}(a^2+b^2))+\beta((b-a)(\bruch{a^2+2ab+b^2}{4}))[/mm]
>
> dann habe ich die gleichuuung mit [mm]\bruch{2}{b-a}[/mm]
> multipliziert und erhalte dann:
>
> [mm]\alpha(a^2+b^2)+\beta(a^2+2ab+b^2)=\bruch{2}{3}(b^2+ab+a^2)[/mm]
>
> somit habe ich 2 gleichungen für 2 unbekannte. mit LGS
> erhält man dann für
> [mm]\beta=\bruch{2}{3}[/mm] und für [mm]\alpha=\bruch{1}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ist es soweit richtig?
>
> sind [mm]\beta[/mm] und [mm]\alpha[/mm] meine knoten?
Nein [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] sind Gewichte.
Knoten sind Stellen, an denen die Funktion f in der QF ausgewertet wird,
also a, [mm] $\bruch{b-a}{2}$ [/mm] und b.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mi 05.11.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke fürs kontrollieren :)
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