Quadratische Ungleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mo 02.06.2008 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
habe ein Problem und bitte deshalb um Hilfe.
Denn ha ich vor kurzem mit quadratischen Ungleichungen angefangen. Doch versteh ich eine Sache daran nicht:
Die NUllstelle kann ich ja ausrechnen aber die Lösungsmenge hinschreiben, da haperts, weil ich nicht weiß, wie genau ich das machen soll. Also z.B.:
Aufg.:
x² -2x-3 [mm] \le [/mm] 0
NS.:
x² -2x-3=0
x1,2= 1 +- [mm] \wurzel{1+3}
[/mm]
= 1+- [mm] \wurzel{4}
[/mm]
x1= 3
x2= -1
Lösungsmenge= {x| }
Mehr weiß ich auch nicht. Könnte mir bitte, bitte jemand bei der Lösungsmenge helfen und mir erklären, wie das funktioniert, damit ich das bei den anderen Aufgaben anwenden kann??
LG Zitrone
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> Hallo,
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> habe ein Problem und bitte deshalb um Hilfe.
> Denn ha ich vor kurzem mit quadratischen Ungleichungen
> angefangen. Doch versteh ich eine Sache daran nicht:
> Die NUllstelle kann ich ja ausrechnen aber die
> Lösungsmenge hinschreiben, da haperts, weil ich nicht weiß,
> wie genau ich das machen soll. Also z.B.:
>
> Aufg.:
> x² -2x-3 [mm]\le[/mm] 0
>
> NS.:
> x² -2x-3=0
> x1,2= 1 +- [mm]\wurzel{1+3}[/mm]
> = 1+- [mm]\wurzel{4}[/mm]
> x1= 3
>
> x2= -1
>
> Lösungsmenge= {x| }
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> Mehr weiß ich auch nicht. Könnte mir bitte, bitte jemand
> bei der Lösungsmenge helfen und mir erklären, wie das
> funktioniert, damit ich das bei den anderen Aufgaben
> anwenden kann??
Die linke Seite dieser quadratischen Ungleichung ist der Funktionsterm einer quadratischen Funktion, deren Graph wegen des positiven Koeffizienten $1$ von [mm] $x^2$ [/mm] eine nach oben geöffnete Parabel ist. Deshalb kann der Wert dieses Terms (=die $y$-Koordinaten der entsprechenden Punkte auf der Parabel) nur zwischen den beiden Nullstellen [mm] $\leq [/mm] 0$ sein. Die Lösungsmenge wäre also $[-1;3]$
Du kannst aber auch die sich aus den Nullstellen, die Du bestimmt hast, direkt ergebende faktorzerlegte Form [mm] $(x+1)\cdot (x-3)\leq [/mm] 0$ der Ungleichung betrachten. Für welche $x$ ist diese Ungleichung erfüllt?
Nun, für solche $x$, für die [mm] $x+1\leq [/mm] 0$ und [mm] $x-3\geq [/mm] 0$ gilt, oder für solche $x$, für die [mm] $x+1\geq [/mm] 0$ und [mm] $x-3\leq [/mm] 0$ gilt. Oft zeichnet man in einem solchen Falle für jeden der Faktoren einen Zahlenstrahl, auf dem man die Nullstelle und den Vorzeichenverlauf dieses Faktors einträgt. Aus dieser Darstellung kann man dann sehr direkt die Lösungsmenge der Ungleichung ablesen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der dritte Zahlenstrahl wurde in dieser Handnotiz aufgrund der beiden Zahlenstrahlen für die Faktoren $(x+1)$ und $(x-3)$ konstruiert: einfach Nullstellen übertragen und dann aufgrund der Vorzeichenregel der Multiplikation (+ mal + gibt +, - mal - gibt +, + mal - gibt -, - mal + gibt -) ergänzen.
Dasselbe Verfahren funktioniert auch bestens bei Ungleichungen wie [mm] $\frac{x+1}{x-3}\leq [/mm] 0$. Die Lösungsmenge kann in diesem Falle allerdings die Nullstelle des Nenners nicht enthalten (weil dann der Nenner 0 wird). Die Lösungsmenge dieser Ungleichung wäre somit $[-1;3[$.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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