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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 01.05.2014 | | Autor: | anno |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Messpunkte (x, f(x)): (1,2), (2,3), (3,5)
und die Nebenbedingung [mm] g_{1}'(1)=0.
[/mm]
Gesucht ist die quadratische Spline-Funktion:
[mm] g(x)=\begin{cases} g_{1}'(x)=a_{12}x^{2}+a_{11}x+a_{10} & 1 \le x \le 2 \\ g_{2}'(x)=a_{22}x^{2}+a_{21}x+a_{20} & 2 \le x \le 3 \end{cases} [/mm] |
Ich habe hier zwar eine Lösung, allerdings verstehe ich sie nicht komplett.
Es werden die Ableitungen [mm] g_{1}'(x) [/mm] und [mm] g_{2}'(x) [/mm] benötigt:
[mm] g_{1}'(x)= 2a_{12}x+a_{11}
[/mm]
[mm] g_{2}'(x)= 2a_{22}x+a_{21}
[/mm]
1. Stetigkeit:
[mm] g_{1}(1) [/mm] = 2
[mm] g_{1}(2) [/mm] = 3
[mm] g_{2}(2) [/mm] = 3
[mm] g_{2}(3) [/mm] = 5
2. Differenzierbarkit:
[mm] g_{1}'(2)=g_{2}'(2)
[/mm]
3. Zusatzbedingung:
[mm] g_{1}'(1)=0
[/mm]
Dann werden 2 LGS erstellt:
[mm] a_{12}+a_{11}+a_{10} [/mm] = 2
[mm] 4a_{12}+2a_{11}+a_{10}=3
[/mm]
[mm] 2a_{12}+a_{11} [/mm] = 0
[mm] a_{10}=3, a_{11}=-1, a_{12}=1
[/mm]
und
[mm] 4a_{22}+2a_{21}+a_{20} [/mm] = 3
[mm] 9a_{22}+3a_{21}+a_{20}=5
[/mm]
[mm] 4a_{22}+a_{21} [/mm] = 2
[mm] a_{20}=-1, a_{21}=2, a_{22}=0
[/mm]
Was ich nicht ganz verstehe, woher die 3. Zeile in den beiden LGS stammt. Ich nehme an das muss eine Ableitung 1. Grades sein.
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo anno,
> Gegeben sind folgende Messpunkte (x, f(x)): (1,2), (2,3),
> (3,5)
> und die Nebenbedingung [mm]g_{1}'(1)=0.[/mm]
>
> Gesucht ist die quadratische Spline-Funktion:
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} g_{1}'(x)=a_{12}x^{2}+a_{11}x+a_{10} & 1 \le x \le 2 \\ g_{2}'(x)=a_{22}x^{2}+a_{21}x+a_{20} & 2 \le x \le 3 \end{cases}[/mm]
> Ich habe hier zwar eine Lösung, allerdings verstehe ich
> sie nicht komplett.
Deine Lösung ist falsch!
> Es werden die Ableitungen [mm]g_{1}'(x)[/mm] und [mm]g_{2}'(x)[/mm]
> benötigt:
>
> [mm]g_{1}'(x)= 2a_{12}x+a_{11}[/mm]
> [mm]g_{2}'(x)= 2a_{22}x+a_{21}[/mm]
Nein. Es gilt:
[mm]g'(x)=\begin{cases} g_{1}''(x)=2a_{12}x+a_{11} & 1 \le x \le 2 \\ g_{2}''(x)=2a_{22}x+a_{21} & 2 \le x \le 3 \end{cases}[/mm].
> 1. Stetigkeit:
Nein. Das sind die Interpolationsbedingungen.
> [mm]g_{1}(1)[/mm] = 2
> [mm]g_{1}(2)[/mm] = 3
> [mm]g_{2}(2)[/mm] = 3
> [mm]g_{2}(3)[/mm] = 5
> 2. Differenzierbarkit:
Differenzierbarkeit.
> [mm]g_{1}'(2)=g_{2}'(2)[/mm]
Nein. Es gilt:
[mm] g_1''(2)=g_2''(2).
[/mm]
> 3. Zusatzbedingung:
> [mm]g_{1}'(1)=0[/mm]
>
>
> Dann werden 2 LGS erstellt:
> [mm]a_{12}+a_{11}+a_{10}[/mm] = 2
> [mm]4a_{12}+2a_{11}+a_{10}=3[/mm]
> [mm]2a_{12}+a_{11}[/mm] = 0
>
> [mm]a_{10}=3, a_{11}=-1, a_{12}=1[/mm]
Dieses LGS ist falsch gelöst! Richtig:
[mm] a_{12}=1,
[/mm]
[mm] a_{11}=-2,
[/mm]
[mm] a_{10}=3.
[/mm]
> und
> [mm]4a_{22}+2a_{21}+a_{20}[/mm] = 3
> [mm]9a_{22}+3a_{21}+a_{20}=5[/mm]
> [mm]4a_{22}+a_{21}[/mm] = 2
>
> [mm]a_{20}=-1, a_{21}=2, a_{22}=0[/mm]
Ja.
> Was ich nicht ganz verstehe, woher die 3. Zeile in den
> beiden LGS stammt. Ich nehme an das muss eine Ableitung 1.
> Grades sein.
Beim ersten LGS steht in der dritten Zeile die Zusatzbedingung
[mm] g_1'(1)=0.
[/mm]
Beim zweiten LGS steht in der dritten Zeile die Differenzierbarkeit
[mm] g_2''(2)=g_1''(2),
[/mm]
wobei auf der rechten Seite das Ergebnis vom ersten LGS benutzt wurde.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Ich habe noch einen wichtigen Fehler gefunden und ergänzt.
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