Quadratische Matrix und Rang < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:32 Do 01.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | | Es sei A eine n*n-Matrix mit [mm] A^2=E(E [/mm] sei die n*n-Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass dann rg(A)=n ist. |
Hat diese Aufgabe etwas mit der Projektionsmatrix zu tun? WEnn ja könnte mir jemand erklären was das geanu ist? Eine n*n Matrix ist eine quadratische Matrix, oder? Heisst es, dass sie dann auch regulär ist? Was muss ich hier machen? Könnte mir da bitte, bitte, bitte jemand weiterhelfenß
Liebe Grüsse
Maggi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Do 01.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
nur ein paar Gedanken, vielleicht könnte das ja dann jemand in eine ordentliche Notation bringen 
> Es sei A eine n*n-Matrix mit [mm]A^2=E(E[/mm] sei die
> n*n-Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass dann rg(A)=n ist.
> Hat diese Aufgabe etwas mit der Projektionsmatrix zu tun?
> WEnn ja könnte mir jemand erklären was das geanu ist?
Eher nicht, denn die Projektionsmatrix hat in den wenigsten Fällen den vollen Rang (außer bei der Einheitsmatrix)
zudem ist eine Projektionsmatrix A²=A (idempotent)
> Eine n*n Matrix ist eine quadratische Matrix, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Heisst es, dass sie dann auch regulär ist? Was muss ich hier machen?
nein, regulär heißt, dass ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt und dann ist ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Rg(A)=n
Das wäre schon mal ein guter Anfang.
> Könnte mir da bitte, bitte, bitte jemand weiterhelfenß
Damit aus A²=A*A eine Einheitsmatrix entstehen kann, muss A mit [mm] A^{-1} [/mm] multipliziert werden. Die Inverse gibt es aber nur, wenn A regulär ist - s.o.!
erst einmal bis hier, wenn mir noch was einfällt, meld ich mich nochmal
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 01.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
Herby hat eigentlich schon eine Antwort gegeben:
weil [mm] $E=A*A^{-1}$ [/mm] folgt aus $A*A=E$, dass [mm] $A=A^{-1}$ [/mm] , insbesondere existiert die Inverse und A hat deshalb vollen Rang.
oha - ich sehe gerade, dass dies im Schulforum steht - aber die Begriffe lassen auf Uni schliessen, deshalb folgendes nur beachten, wenn alle Begriffe und Zusammenhaenge schon behandelt wurden.
Man kann dies auch über den Kern lösen : angenommen A hätte nicht vollen Rang, d.h. es gibt ein [mm] $v\not= [/mm] 0$ im Kern.
(Im Kern von A liegen alle Vektoren v, so dass $A*v=0$ und 0 liegt natuerlich immer im Kern !)
Dann ist aber $A*A*v=A*0=0$, also ist v auch im Kern von [mm] $A^2$, [/mm] was aber nicht sein kann, denn wegen [mm] $A^2*v=E*v=v$ [/mm] muss dann $v=0$, was ein Widerspruch zur Annahme ist.
hier führen also viele Wege nach Rom..
viele Grüße
DaMenge
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