Quadratische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Ludolf |
Hallo und Moin, Moin !
Habe folgende Aufgabe zu lösen:
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet: [mm] f(x)=a*x^2+b*x+c
[/mm]
Zeige durch Berechnen der Parameter des zugehörigen Gleichungssystems,
dass die Funktionsgleichung, deren Graph die drei Punkte R (5|-2),
S (1|-1,2) und T (-3|9,2) enthält, wie folgt lautet:
[mm] f(x)=0,3*x^2-2*x+0,5
[/mm]
Welche Koordinaten hat der Extrempunkt der Funktion ?
Mein Lösungsansatz:
[mm] -2=0,3*5^2-2*5+0,5
[/mm]
-2=0,3*25-10+0,5
-2=7,5-9,5
-2=-2
[mm] -1,2=0,3*(1)^2-2*1+0,5
[/mm]
-1,2=0,3-1,5
-1,2=-1,2
[mm] 9,2=0,3*(-3)^2-(2*-3)+0,5
[/mm]
9,2=0,3*9-(-6)+0,5
9,2=2,7+6+0,5
9,2=9,2
.... oder ist das schon mal Quatsch, da es nur Proben sind ???....
Bitte um Hilfe!
Viele Grüße!
Ludolf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ludolf
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo und Moin, Moin !
>
> Habe folgende Aufgabe zu lösen:
>
> Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
> [mm]f(x)=a*x^2+b*x+c[/mm]
> Zeige durch Berechnen der Parameter des zugehörigen
> Gleichungssystems,
> dass die Funktionsgleichung, deren Graph die drei Punkte
> R (5|-2),
> S (1|-1,2) und T (-3|9,2) enthält, wie folgt lautet:
>
> [mm]f(x)=0,3*x^2-2*x+0,5[/mm]
>
> Welche Koordinaten hat der Extrempunkt der Funktion ?
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]-2=0,3*5^2-2*5+0,5[/mm]
> -2=0,3*25-10+0,5
> -2=7,5-9,5
> -2=-2
>
> [mm]-1,2=0,3*(1)^2-2*1+0,5[/mm]
> -1,2=0,3-1,5
> -1,2=-1,2
>
> [mm]9,2=0,3*(-3)^2-(2*-3)+0,5[/mm]
> 9,2=0,3*9-(-6)+0,5
> 9,2=2,7+6+0,5
> 9,2=9,2
>
> .... oder ist das schon mal Quatsch, da es nur Proben sind
> ???....
>
Das ist zwar nicht gerade Quatsch, aber du hast dich nicht an die Vorgabe gehalten. Es heisst ja, du sollt die Koeffizienten (das sind also die Zahlen $a_$, $b_$ und $c_$) durch Auflösen des Geleichungssystems machen!
Du hast nur überprüft, ob die angegebene Funktion auch stimmt, du weisst dadurch aber nicht, ob es die einzige Lösung sei.
Du musst also folgendes tun:
Nimm die Funktion
[mm] $y=ax^2+bx+c$
[/mm]
Hier setzt du die gegebenen Punkte ein (für x und für y), daraus erhältst du das Gleichungssystem:
[mm] $5^2*a+5*b+c=-2$
[/mm]
[mm] $1^2*a+1*b+c=-1,2$
[/mm]
[mm] $(-3)^2*a+(-3)*b+c=9,2$
[/mm]
Dieses Gleichungssystem löst du also nach a, b und c auf.
Wenn sich die eindeutige Lösung
$a=0,3_$; $b=-2_$ und $c=0,5_$
ergibt, dann hast du den ersten Teil der Aufgabe gelöst. 
Bei weiteren Fragen meldest du dich dann einfach wieder, ja?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Ludolf |
Hallo Paulus, herzlichen Dank für die schnelle Reaktion !
Sieht das dann so aus:
[mm] 5^2*a+5*b+c=-2 [/mm] |-5b-c
[mm] 5^2*a=-2-5*b-c |:5^2
[/mm]
a= [mm] \bruch{-2-(5*-2)-0,5}{25}
[/mm]
a= [mm] \bruch{7,5}{25}
[/mm]
a=0,3
????????
Viele Grüße, Ludolf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ludolf!
> [mm]5^2*a+5*b+c=-2[/mm] |-5b-c
> [mm]5^2*a=-2-5*b-c |:5^2[/mm]
> a= [mm]\bruch{-2-(5*-2)-0,5}{25}[/mm]
> a= [mm]\bruch{7,5}{25}[/mm]
>
> a=0,3
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, so geht das nicht! Du setzt hier ja in der vorletzten Zeile bereits die Ergebnisse von $b$ und $c$ ein, die wir ja erst ermitteln wollen/sollen.
Paulus hat Dir ja bereits die Ansätze für die 3 Gleichungen geliefert:
[mm] $5^2*a+5*b+c=-2$ [/mm]
[mm] $1^2*a+1*b+c=-1,2$ [/mm]
[mm] $(-3)^2*a+(-3)*b+c=9,2$
[/mm]
Multiplizieren wir die Quadrate etwas aus, erhalten wir:
$25*a+5*b+c \ = \ -2$
$1*a+1*b+c \ = \ -1,2$
$9*a-3*b+c \ = \ 9,2$
Damit hast Du nun ein Gleichungssystem, das aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten besteht.
Dieses Gleichungssystem mußt Du nun lösen z.B. mit dem Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder dem  Gauß-Algorithmus.
Hast Du von diesen Verfahren bereits etwas gehört?
Damit erhältst Du nämlich dann nach eingene Umformungen unser drei gesuchten Koeffizienten $a$, $b$ und $c$.
Diese sollten dann unseren oben genannten Werten entsprechen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 12.05.2005 | | Autor: | Ludolf |
Hallo Loddar, auch Dir herzlichen Dank für Deine Hilfe !
Habe mir die entsprechenden Links durchgelesen und hoffe, dass mir die
Additionsmethode und Einsetzung weiterhilft;
dann also los :
die 3 Gleichungen und folgende nenne ich in Zukunft einfach I. /II. ... sowie a. b...u.s.w
Gleichung II. verändere ich zu IIa. (|*-25)
ergibt
-25a -25b-25c =30 diese addiere ich zu I. :ergibt Gleichung IV. (I. + IIa)
ergibt dann -20b -24c =28
Gleichung II. verändere ich zu IIb. (|*-9) ergibt
-9a -9b + 9c = 10,8
addiere ich diese zu III. , ergibt sich
-12b -8c = 20 |*-3
36b +24c = -60 hierzu addiere ich Gleichung IV. (I. + IIa)
-20b - 24c = 28
16b = - 32
b= -2
Gleichung III. habe ich dann umgestellt |+3b und |- 9a
ergibt dann c = 9,2 + 3b - 9a ==> c=9,2 + 3*(-2) -9a ==> c=3,2 - 9a, dies eingesetzt in Gleichung II.
a + b + 3,2 -9a =-1,2
a - 2 + 3,2 -9a =-1,2
-8a = -2,4 |*-1
a=0,3
dann a und b eingesetzt in Gleichung II.
0,3 - 2 +c = -1,2
c= 0,5
... und jetzt sagt bitte nicht, dass das auch Schrott ist ...
Viele Grüße
Ludolf
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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