Quadratische Funktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Do 20.12.2007 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
wäre prima wenn mir jemand erklären könnte was es bedeutet, wenn die Bestimmung des Scheitelpunktes durch Quadratisches Ergänzen gefordert ist.
Wie gehe ich da vor? Was heißt das?
Zudem müsste ich noch wissen wie man die Nullstellen bestimmt?
Vielen Dank.
Gruß, Andi
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Hallo Andi!
 Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt man, indem man die Funktionsgleichung gleich Null setzt und anschließend in die Normalform [mm] $\red{1}*x^2+p*x+q [/mm] \ = \ 0$ umstellt.
Anschließend kann man dann die p/q-Formel anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Andi!
Nehmen wir mal zum Beispiel die Parabel $p(x) \ = \ [mm] 3*x^2-6*x+15$ [/mm] und forme diese in die Scheitelpunktsform um:
$$p(x) \ = \ [mm] 3*x^2-6*x+15$$
[/mm]
Zunächst den Zahlenwert vor dem [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern:
$$p(x) \ = \ [mm] 3*\left(\blue{x^2-2*x}+5\right)$$
[/mm]
Nun überlegen wir uns, wie wir den Term [mm] $\blue{x^2-2*x}$ [/mm] zu einer binomischen Formel ergänzen können. Dafür nehmen wir uns den term vor dem $x_$ , halbieren ihn und quadrieren diesen Wert:
[mm] $$\left(\bruch{\blue{-2}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^2 [/mm] \ = \ 1$$
Diesen Wert addieren wir nun und ziehen ihn gleich wieder ab, damit wir die Funktionsvorschrift nicht verändern:
$$p(x) \ = \ [mm] 3*\left(x^2-2*x \ \red{+1-1}+5\right)$$
[/mm]
Nun können wir [mm] $x^2-2*x+1$ [/mm] zusammenfassen mittels binomischer Formel zu: [mm] $(x-1)^2$ [/mm] :
$$p(x) \ = \ [mm] 3*\left[(x-1)^2-1+5\right]$$
[/mm]
$$p(x) \ = \ [mm] 3*\left[(x-1)^2+4\right]$$
[/mm]
Nun die $3_$ wieder hineinmultiplizieren:
$$p(x) \ = \ [mm] 3*(x-1)^2+3*4 [/mm] \ = \ [mm] 3*(x-\red{1})^2+\green{12}$$
[/mm]
Damit können wir nun den Scheitelpunkt ablesen mit $S \ [mm] \left( \ \red{1} \ | \ \green{12} \ \right)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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