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| Aufgabe | Ein Auszug aus einer Theorieeinheit die die quadratische Funktion definiert:
Die zur quadratischen Funktion z [mm] \to w=z^{2} [/mm] gehörende Abbildung ist für [mm] \IC\setminus\{0\} [/mm] winkeltreu. 0 nennt man verzweigungspunkt (kritischer Punkt). |
Was meint: die Abbildung ist winkeltreu?
Warum ist das "nur" für Abbildungen in [mm] \IC\setminus\{0\} [/mm] gegeben?
Was meint "0 ist der Verzweigungspunkt"?
Ich danke für die Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein Auszug aus einer Theorieeinheit die die quadratische
> Funktion definiert:
>
> Die zur quadratischen Funktion z [mm]\to w=z^{2}[/mm] gehörende
> Abbildung ist für [mm]\IC\setminus\{0\}[/mm] winkeltreu. 0 nennt
> man verzweigungspunkt (kritischer Punkt).
>
> Warum ist das "nur" für Abbildungen in [mm]\IC\setminus\{0\}[/mm]
> gegeben?
da steht doch "nur" eine Abbildung:
$$f: [mm] \IC \setminus\{0\} \to \IC \text{ mit }f(z)=z^2\;\;\;(z \not=0)\,.$$ [/mm]
Die Frage wird sich klären, wenn Du den Begriff "winkeltreu" verstehst - oder aber die Charakterisierung, die Du in untenstehendem Link in Satz 1.16 findest.
> Was meint: die Abbildung ist winkeltreu?
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier in Definition 1.15:
Grob gesagt heißt das:
Wenn man (irgend-)zwei (differenzierbare) Wege hat, die sich an einer Stelle unter einem bestimmten Winkel schneiden, so "erhält [mm] $f\,$" [/mm] diesen "Schnittwinkel" der Bilder dieser Wege (unter [mm] $f\,$) [/mm] an der Stelle [mm] $f(\text{Schnittstelle der Wege})\,.$ [/mm]
Vielleicht ein wenig "geometrischer":
Wendet man auf (irgend-)zwei Wege, die sich an einer gewissen Stelle unter einem gewissen Winkel [mm] $\phi$ [/mm] schneiden, die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] an und betrachtet die "Bildwege", so ist der Winkel, den man an dem Funktionswert der Schnittstelle zwischen den beiden "Bildwegen" findet, identisch mit dem Winkel [mm] $\phi\,.$
[/mm]
Tipp:
Mach Dir eine Skizze:
Links zeichnest Du Dir zwei (differenzierbare) Wege in [mm] $\IC$ [/mm] und schaust an (einer) gemeinsamen Schnittstelle, wie der Winkel "zwischen der Wege an dieser Stelle ist). Rechts zeichnest Du Dir wieder [mm] $\IC\,,$ [/mm] dann das Bild der beiden Wege unter [mm] $f\,.$ [/mm] Wenn Links der Winkel $63$° betragen würde, dann sollte rechts der auch $63$° betragen etc. pp.
(Btw.:
Satz 1.16 liefert eine einfache Charakterisierung der Winkeltreue. Dieser Satz liefert Dir hier, angewandt auf $z [mm] \mapsto w=z^2$ [/mm] ($z [mm] \not=0$) [/mm] fast sofort die Behauptung: Sei $z=x+iy$ [mm] ($x:=\text{Re }z$ [/mm] und [mm] $y:=\text{Im }z$):
[/mm]
Hier ist [mm] $f(z)=z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i*(2xy)\equiv:u(x,y)+i*v(x,y)\,,$ [/mm] so dass Du die Voraussetzung von Satz 1.16 nachweisen kannst (beachte Definition 1.6). Und [mm] $f(z)=z^2$ [/mm] ist diff'bar auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] mit $f'(z)=2z [mm] \not=0$ [/mm] ($z [mm] \not=0$).)
[/mm]
> Was meint "0 ist der Verzweigungspunkt"?
Das weiß ich gerade nicht. Googlen?
> Ich danke für die Antworten
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo^^,
da stehts, lies dir das am besten mal selbst durch:
http://books.google.de/books?id=fp14VkqV88sC&pg=PA263&lpg=PA263&dq=Verzweigungspunkt&source=bl&ots=cvAgMhCWWV&sig=hgvH7GOjbGF3-aZ4HrqQTtME4Vw&hl=de&ei=zbGsTLz-GMvJswbDyqihBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CEAQ6AEwCQ#v=onepage&q=Verzweigungspunkt&f=false
verständlich geworden???
LG
pythagora
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