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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(-a*x^{2}+2*b*x)dx}
[/mm]
kann vereinfacht werden durch Substitution: [mm] x=y+\bruch{b}{a}
[/mm]
Verallgemeinerung des Argumentes der e-Funktion:
[mm] \Phi:=-x^{T}*A*x+x^{T}*b+b^{T}*x [/mm] wobei A eine invertierbare, symmertrische Matrix ist und x sowie b Spaltenvektoren sind.
a) Bestimmen Sie den Spaltenvektor c, sodass nach Substitution x=y+c keine Terme linear in y übrigbleiben. [mm] (c=A^{-1}*b)
[/mm]
b) Bestimmen Sie [mm] \Phi [/mm] nach Substitution von x durch y.
[mm] (\Phi=-y^{T}*A*y+b^{T}*A^{-1}*b) [/mm] |
So, Aufgabe a) versteh ich überhaupt nicht. Was soll ich bitte machen? Und woher kommt auf einmal die Inverse Matrix???
Bei b) ist es nicht besser. Ich weiß überhaupt nicht, wie ich mit diesem Gedöhns rechnen soll. Und schon wieder taucht die Inverse Matrix aus dem Nichts auf... Woher???
Ich meine, wenn ich substituiere, dann ist da doch keine inverse Matrix. Und ich meine auch, dass das durch die Substitution nicht einfacher wird (jedenfalls sieht es für mich so aus...)
[mm] -(y+\bruch{b}{a})^{T}*A*(y+\bruch{b}{a})+(y+\bruch{b}{a})^{T}*b+b^{T}*(y+\bruch{b}{a})
[/mm]
Wie soll's jetzt weitergehen? Kann ich das Transponieren aufspalten, ist das distributiv? Wie vereinfache ich dieses Ding nun?
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Hallo,
ich würde die Aufgabe in etwa so übersetzen:
mach eine Hauptachsentransformation für [mm] \Phi:=-x^{T}*A*x+x^{T}*b+b^{T}*x[/mm] [/mm] .
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Sa 16.01.2010 | | Autor: | valoo |
Hauptachsentransformation? Da habe ich ja noch nie was von gehört...
Wie stelle ich das denn an? Ich habe mal nachgelesen, aber das, was ich da gelesen habe, fand ich nicht gerade verständlich, Überführen in eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten als Einträge? Wir hatten weder Diagonalisierung noch Eigenwerte...
Bei wikipedia steht was im Artikel HAT, was ganz ähnlich aussieht... und das dann auch in Summendarstellung. Kann ich also irgendwie durch die Summendarstellung auf das Ergebnis kommen???
[mm] -x^{T}*A*x+x^{T}*b+b^{T}*x=-(\summe_{i=1}^{n}(a_{i,i}*x_{i}^{2})+2*\summe_{i=1}^{n-1}\summe_{j=i+1}^{n}(a_{i,j}*x_{i}*x_{j}))+2*\summe_{i=1}^{n}(b_{i}*x_{i}) [/mm]
Wenn ich hier nun [mm] x_{i} [/mm] durch [mm] (y_{i}+\bruch{1}{a}*b_{i}) [/mm] ersetze, habe ich eine Chance auf das Ergebnis zu kommen? Ich weiß aber immer noch nicht, woher die Inverse von A kommt. Wie sähe die denn in Summendarstellung aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Fr 15.01.2010 | | Autor: | jennilein |
Ich weiß nicht ob mein Ansatz richtig ist, aber ich verstehe a) so, dass du eine lineare Gleichung aufstellst, in der dein y = 0 ist und dann das Ganze nach c ausrechnest...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 So 17.01.2010 | | Autor: | valoo |
So ganz versteh ich das nicht.
Es heißt ja zuerst, dass man x durch [mm] y+\bruch{1}{a}*b [/mm] substituieren soll. Soll man nun zeigen, dass die Inverse von A gerade die Multiplikation mit [mm] \bruch{1}{a} [/mm] ist?
[mm] y+\bruch{1}{a}*b=y+c
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{a}*b=c
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{a}*A*b=A*c
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{a}*a*b=A*c
[/mm]
<=> b=A*c
<=> [mm] c=A^{-1}*b
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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