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| Aufgabe | [mm] V=\mathbb{R}^4 [/mm] Finde Basen, bezüglich der die folgenden quadratischen Formen als Summe von Quadraten dargestellt sind und bestimme Rang und Positivitätsindex
[mm] q(v)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_1x_4+x_2x_4+x_3x_4 [/mm] |
Gibt es hier einen Trick um sofort eine Basis zu bestimmen?
Ich weiß wie ich die Funktion f aus q zurückgewinnen kann.
[mm] f(v,w)=\bruch{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w)) [/mm] Daraus kann ich die Matrix der Bilinearform bzgl. der Standardbasis bestimmen und der Rang dieser Matrix ist der Rang von [mm] q=rg[f]_B
[/mm]
Zum Positivitätsindex kann ich nicht viel sagen, da ich eine Definition oder etwas dergleichen nicht in meinen Aufzeichnungen, sowie dem Internet entdecken konnte.
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Hallo Omikron123,
> [mm]V=\mathbb{R}^4[/mm] Finde Basen, bezüglich der die folgenden
> quadratischen Formen als Summe von Quadraten dargestellt
> sind und bestimme Rang und Positivitätsindex
>
> [mm]q(v)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_1x_4+x_2x_4+x_3x_4[/mm]
> Gibt es hier einen Trick um sofort eine Basis zu
> bestimmen?
>
Nun, der Trick ist die gemischtquadratischen Glieder mit Hilfe
von quadratischer Ergänzung zu eliminieren.
> Ich weiß wie ich die Funktion f aus q zurückgewinnen
> kann.
>
> [mm]f(v,w)=\bruch{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))[/mm] Daraus kann ich die
> Matrix der Bilinearform bzgl. der Standardbasis bestimmen
> und der Rang dieser Matrix ist der Rang von [mm]q=rg[f]_B[/mm]
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> Zum Positivitätsindex kann ich nicht viel sagen, da ich
> eine Definition oder etwas dergleichen nicht in meinen
> Aufzeichnungen, sowie dem Internet entdecken konnte.
Gruss
MathePower
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Wie genau darf ich das jetzt verstehen? Wenn ich versuche Teile quadratisch zur ergänzen kommt bei mir immer irgendetwas dabei heraus.
Hilft es mir die Funktion f aus q zurückzugewinnen?
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Hallo Omikron123,
> Wie genau darf ich das jetzt verstehen? Wenn ich versuche
> Teile quadratisch zur ergänzen kommt bei mir immer
> irgendetwas dabei heraus.
>
Dann poste doch dieses "irgendetwas".
> Hilft es mir die Funktion f aus q zurückzugewinnen?
Nein.
Gruss
MathePower
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