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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 30.06.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
bei der folgenden Aufgabe habe ich schon einen Lösunngsvorschlag, bin mir aber sehr unsicher und würde mich freuen, wenn sich jemand von euch das Problem mal anschauen würde. Die Aufgabe lautet:
Sei q die quadratische Form auf [mm] \IR^{2} [/mm] definiert durch
[mm] q(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}
[/mm]
Bestimmen sie Index und Rang.
Folgendermaßen habe ich die Matrix gesucht:
Es gilt: [mm] a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+a_{33}x_{3}^{2}+2\summe_{i=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}
[/mm]
Mit der Definition von oben lässt sich folgende Matrix finden:
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} & 1 \\ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Diese hat das charakteristische Polynom [mm] -t^{3}+t^{2}+\bruch{5}{4}t-\bruch{1}{4}=0
[/mm]
Ganz davon abgesehen, dass ich hierfür keine Lösung finde, habe ich mir folgendes Überlegt:
Der Index ist doch die Anzahl der -1 auf der Diagonalen der Diagonalmatrix!? Die Einträge auf der Diagonalmatrix sind allerdings die Eigenwerte der Ausgangsmatrix. Dann habe ich einfach -1 für t eingesetzt, und bin nicht auf Null gekommen. Damit ist -1 kein Eigenwert. Folgt dann daraus jetzt, dass der Index gleich 0 ist?
Der Rang ist gleich drei, das war bei der Matrix nicht so schwer.
Dann verwirrt mich noch, dass wir laut Aufgabe im [mm] \IR^{2} [/mm] sind, aber eine 3x3 Matrix haben. Wie geht das?
Vielen Dank für eure Mühe,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Olek!
> Hallo,
> bei der folgenden Aufgabe habe ich schon einen
> Lösunngsvorschlag, bin mir aber sehr unsicher und würde
> mich freuen, wenn sich jemand von euch das Problem mal
> anschauen würde. Die Aufgabe lautet:
> Sei q die quadratische Form auf [mm]\IR^{2}[/mm] definiert durch
> [mm]q(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}[/mm]
>
> Bestimmen sie Index und Rang.
>
> Folgendermaßen habe ich die Matrix gesucht:
> Es gilt:
> [mm]a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+a_{33}x_{3}^{2}+2\summe_{i=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}[/mm]
> Mit der Definition von oben lässt sich folgende Matrix
> finden:
> [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} & 1 \\ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diese hat das charakteristische Polynom
> [mm]-t^{3}+t^{2}+\bruch{5}{4}t-\bruch{1}{4}=0[/mm]
> Ganz davon abgesehen, dass ich hierfür keine Lösung finde,
> habe ich mir folgendes Überlegt:
> Der Index ist doch die Anzahl der -1 auf der Diagonalen
> der Diagonalmatrix!? Die Einträge auf der Diagonalmatrix
> sind allerdings die Eigenwerte der Ausgangsmatrix. Dann
> habe ich einfach -1 für t eingesetzt, und bin nicht auf
> Null gekommen. Damit ist -1 kein Eigenwert. Folgt dann
> daraus jetzt, dass der Index gleich 0 ist?
Nein. Es handelt sich um die Anzahl der negativen Eigenwerte. Nur bezüglich einer speziellen Basis stehen dann $-1$ ein auf der Diagonale. Der "Trick" mit dem Einsetzen von $-1$ in das charakteristische Polynom funktioniert also nicht. Du musst schon die Anzahl der negativen respektive positiven Eigenwerte bestimmen.
> Der Rang ist gleich drei, das war bei der Matrix nicht so
> schwer.
> Dann verwirrt mich noch, dass wir laut Aufgabe im [mm]\IR^{2}[/mm]
> sind, aber eine 3x3 Matrix haben. Wie geht das?
Hier handelt es sich wohl um einen Druckfehler. Es muss [mm] $\IR^3$ [/mm] heißen...
Viele Grüße
Stefan
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