Quadrate in Mittelpunktslage < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind zwei Quadrate in Mittelpuktslage und zueinander parallelen Seiten a und b (mit a>b). Man verbinde benachbarte innere und äußere Eckpunkte.
a) Welche kongruenten Teilfiguren entstehen?
b) Der Flächeninhalt einer dieser Teilfiguren ist in Abhängigkeit von a und b auszudrücken.
c) Um welchen Körper handelt es sich, wenn man die Skizze als ebene Darstellung eines Körpers betrachtet. |
Also ich wollte mit der Aufgabe anfangen und eine Skizze der beiden Quadrate anfertigen, aber ich kenne den Begriff "Mittelpunktslage" nicht und ich habe auch über Google keine Erklärung gefunden, die ihn mir verständlich ercheinen lässt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Fr 12.06.2009 | | Autor: | weduwe |
> Gegeben sind zwei Quadrate in Mittelpuktslage und
> zueinander parallelen Seiten a und b (mit a>b). Man
> verbinde benachbarte innere und äußere Eckpunkte.
> a) Welche kongruenten Teilfiguren entstehen?
> b) Der Flächeninhalt einer dieser Teilfiguren ist in
> Abhängigkeit von a und b auszudrücken.
> c) Um welchen Körper handelt es sich, wenn man die Skizze
> als ebene Darstellung eines Körpers betrachtet.
> Also ich wollte mit der Aufgabe anfangen und eine Skizze
> der beiden Quadrate anfertigen, aber ich kenne den Begriff
> "Mittelpunktslage" nicht und ich habe auch über Google
> keine Erklärung gefunden, die ihn mir verständlich
> ercheinen lässt.
ehrlich gesagt ist mir dieser ausdruck auch neu.
ich tippe auf so etwas 
das dürfte auch zu dem kontext passen
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also ich habe das ganze jetzt mal gezeichnet.
a) Das ist die Figur, die ich rot eingezeichnet habe. Muss man diese Figur noch beschreiben?
b) Also ich habe mir gedacht, dass man den Flächeninhalt einmal durch die grüne Figur plus die gelbe Figur berechnen kann. Da die gelbe aus den beiden Dreiecken der ganzen Figur besteht. Insgesamt erhält man so drei Qudrate, die jeweils den Flächeninhalt [mm] \bruch{a}{4} [/mm] * [mm] \bruch{a}{4} [/mm] besitzen.
Bei dieser Art der Flächenberechnung, habe ich jetzt aber leider nur mit der Größe a gerechnet. In der Aufgabenstellung heißt es aber in Abhänggkeit von a und b. Wie kann ich das noch mit reinbringen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Also ich habe das ganze jetzt mal gezeichnet.
>
> a) Das ist die Figur, die ich rot eingezeichnet habe. Muss
> man diese Figur noch beschreiben?
>
> b) Also ich habe mir gedacht, dass man den Flächeninhalt
> einmal durch die grüne Figur plus die gelbe Figur berechnen
> kann. Da die gelbe aus den beiden Dreiecken der ganzen
> Figur besteht. Insgesamt erhält man so drei Qudrate, die
> jeweils den Flächeninhalt [mm]\bruch{a}{4}[/mm] * [mm]\bruch{a}{4}[/mm]
> besitzen.
Hallo,
du rechnest hier mit speziellen Werten, da du in deiner Skizze a doppelt so groß wie b gewählt hast und dieses als gegebenen Fakt voraussetzt.
Dein grünes Rechteck hat aber einfach nur die Seitenlängen b und (a-b):2.
Im Übrigen ist dein Vorgehen sehr umständlich. Einfacher sind folgende 2 Wege:
1) Deine rote Figur ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen a und b und der Höhe (a-b):2.
2) Das große Quadrat ist die Summe aus dem inneren Quadrat und 4 kongruenten Trapezen.
Die rote Fläche ist also ein Viertel von der Differenz aus großem und kleinem Quadrat.
Gruß Abakus
>
> Bei dieser Art der Flächenberechnung, habe ich jetzt aber
> leider nur mit der Größe a gerechnet. In der
> Aufgabenstellung heißt es aber in Abhänggkeit von a und b.
> Wie kann ich das noch mit reinbringen?
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Stimmt, das mit den Setenverhältnissen bei mir in der Skizze ist ein besonderer Fall :-(. Aber vielen Dank für die verständliche Antwort.
c) Was ist denn untere "ebene Darstellung" zu verstehen? Die Skizze wirkt, wie die "Draufsicht" auf einen Würfel (wobei die obere Fläche fehlt und man in den Würfel hineinschaut). Aber ist das eine ebene Darstellung? Da denke ich ja dann dreidimesional.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Stimmt, das mit den Setenverhältnissen bei mir in der
> Skizze ist ein besonderer Fall :-(. Aber vielen Dank für
> die verständliche Antwort.
>
> c) Was ist denn untere "ebene Darstellung" zu verstehen?
> Die Skizze wirkt, wie die "Draufsicht" auf einen Würfel
> (wobei die obere Fläche fehlt und man in den Würfel
Hallo,
das ist eine interessante Variante.
So sieht aber auch ein quadratischer Pyramidenstumpf "von oben" aus.
> hineinschaut). Aber ist das eine ebene Darstellung? Da
> denke ich ja dann dreidimesional.
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| Aufgabe | Gegeben sind zwei Würfel in Mittelpunktlage mit zueinander parallelen Kanten a und b (a>b). Man verbinde alle auf der Raumdiagonalen liegende benachbarte innere und äußere Eckpunte miteinander.
a) welche inhaltsgleichen Teilkörper entstehen?
b) Der Rauminhalt eines dieser Körper ist in Abhängigkeit von a und b anzugeben. |
So wie man an der Aufgabenstellung sieht, soll ich das Ganze noch mit zwei Wrfeln machen. Jetzt will ich erst den kleinen Würfel zeichnen, der nachher in dem größeren liegt. Wenn ich den fertig gezeichnet habe, zeichne ich vom Mittelpunkt den größeren Würfel drum herum. Nur wie finde ich den Mittelpunkt des Würfels mit der Kantenlänge b?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind zwei Würfel in Mittelpunktlage mit zueinander
> parallelen Kanten a und b (a>b). Man verbinde alle auf der
> Raumdiagonalen liegende benachbarte innere und äußere
> Eckpunte miteinander.
> a) welche inhaltsgleichen Teilkörper entstehen?
> b) Der Rauminhalt eines dieser Körper ist in Abhängigkeit
> von a und b anzugeben.
> So wie man an der Aufgabenstellung sieht, soll ich das
> Ganze noch mit zwei Wrfeln machen. Jetzt will ich erst den
> kleinen Würfel zeichnen, der nachher in dem größeren liegt.
> Wenn ich den fertig gezeichnet habe, zeichne ich vom
> Mittelpunkt den größeren Würfel drum herum. Nur wie finde
> ich den Mittelpunkt des Würfels mit der Kantenlänge b?
Hallo,
beide Würfel haben den gleichen Mittelpunkt.
Das ganze sieht etwa so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Wie das ausieht ist mir klar, aber ich weiß nicht, wie ich die beiden Würfel korrekt zeichne. Wenn ich den inneren Würfel gezeichnet habe, weiß ich nicht, wie ich den Mittelpunkt finde, von wo ich den zweiten größeren Würfel zeichnen kann. Ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Mittelpunkt? Wenn ja. wie berechne ich denn den Abstand zwischen dem Schnittpunkt und den einzelnen Seiten, also quasi die Höhe vom Schnittpunkt auf die einzelne Seite.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Wie das ausieht ist mir klar, aber ich weiß nicht, wie ich
> die beiden Würfel korrekt zeichne. Wenn ich den inneren
> Würfel gezeichnet habe, weiß ich nicht, wie ich den
> Mittelpunkt finde, von wo ich den zweiten größeren Würfel
> zeichnen kann. Ist der Schnittpunkt der Diagonalen der
> Mittelpunkt? Wenn ja. wie berechne ich denn den Abstand
> zwischen dem Schnittpunkt und den einzelnen Seiten, also
> quasi die Höhe vom Schnittpunkt auf die einzelne Seite.
Ja, der Mittelpunkt ist der Diagonalenschnittpunkt.
Musst du es denn zeichnen? Dazu reicht es aus, jede Raumdiagonale vom Mittelpunkt aus um den gleichen Prozentsatz zu verlängern (von mir aus verdoppele wieder).
Zur letzten Frage:
Der große Würfel ist breiter als der kleine, deswegen ragt er z.B. links und rechts jeweils um das gleiche Stück weiter heraus. Berechne also den Unterschied der Kantenlängen und teile diesen Unterschied durch 2 (weil du ihn auf links und rechts bzw. vorn und hinten bzw. oben und unten jeweils gleichmäßig aufteilen musst).
Gruß Abakus
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Also ich habe jetzt alles versucht, aber ich kriege es nicht hin, den Würfel durch das Verlängern der Diagonalen zu zeichnen. Das ergbt bei mir einfach keinen Würfel... :-( Gibt es nicht noch eine Möglichkeit?
EDIT: Wenn ich jetzt mal deine Zeichnung betrachte: Ich denke es geht in der Aufgabe a) um die Figuren, die du markiert hast. Nur was sind denn das r Figuren? Wenn man es dreidimensional sieht, dann sind das doch Dreiecke??
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Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe jetzt alles versucht, aber ich kriege es
> nicht hin, den Würfel durch das Verlängern der Diagonalen
> zu zeichnen. Das ergbt bei mir einfach keinen Würfel... :-(
> Gibt es nicht noch eine Möglichkeit?
>
> EDIT: Wenn ich jetzt mal deine Zeichnung betrachte: Ich
> denke es geht in der Aufgabe a) um die Figuren, die du
> markiert hast. Nur was sind denn das r Figuren? Wenn man es
> dreidimensional sieht, dann sind das doch Dreiecke??
Grundfläche: Quadrat
Deckfläche: paralleles, etwas kleineres Quadrat
---> Pyramidenstumpf
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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So das heißt doch, dass dann insgesamt in Aufgabenteil a) 12 inhaltsgleiche Pyramidenstümpfe entstehen (8 oben und unten und 4 an den Seiten).
b) Her habe ich mir erst mal ![[]](/images/popup.gif) diese Seite angeschaut. Das Volumen ist ja die Höhe : 3 * (Volumen 1 + Volumen 2 + ...). Jetzt habe ich Probleme die beiden Volumina in meine Skizze zu übertragen. Ich denke Volumen A1 wäre mein Pyramidenstumpf, den ich sehe. A2 ist doch das Volumen, das entstehen würde, wenn es eine Pyramide wäre (und kein Stumpf)? Sehe ich das rchtig? Nur weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie das bei mir aussehen soll?
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> So das heißt doch, dass dann insgesamt in Aufgabenteil a)
> 12 inhaltsgleiche Pyramidenstümpfe entstehen (8 oben und
> unten und 4 an den Seiten).
>
> b) Her habe ich mir erst mal
> diese
> Seite angeschaut. Das Volumen ist ja die Höhe : 3 *
> (Volumen 1 + Volumen 2 + ...). ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
in der Klammer stehen keine Volumina,
sondern Flächeninhalte !
> Jetzt habe ich Probleme die
> beiden Volumina in meine Skizze zu übertragen. Ich denke
> Volumen A1 wäre mein Pyramidenstumpf, den ich sehe. A2 ist
> doch das Volumen, das entstehen würde, wenn es eine
> Pyramide wäre (und kein Stumpf)? Sehe ich das rchtig? Nur
> weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie das bei mir aussehen
> soll?
Hallo Johannes,
du hast das mit den Pyramidenstümpfen noch nicht
richtig verstanden. Ein solcher hat als Grundfläche
eine Seitenfläche des großen, äußeren Würfels und
als Deckfläche die entsprechende Seitenfläche des
inneren. Es sind insgesamt 6 solche kongruenten
Pyramidenstümpfe, die den Raum zwischen dem
inneren und dem äusseren Würfel ausfüllen. Für
die Volumenberechnung gibt es ganz analog zum
ebenen Fall mit den Trapezen verschiedene Rechen-
wege. Entweder kompliziert (mit der Formel für das
Volumen von Pyramidenstümpfen) oder einfacher:
durch Betrachtung von Pyramiden oder durch die
Überlegung
kleiner Würfel + 6 Pyramidenstümpfe = grosser Würfel
LG Al-Chw.
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Ahh, jetzt ist es mir klar. Jetzt sehe ich auch in meiner Zeichnung warum die Dinger Pyramdidenstumpf heißen.
WEG 1
Wenn ich jetzt die Formel zur Berechnung des Pyramidenstumpfes benutze [mm] V=\bruch{h}{3}(A_{1}+A_{2}+\wurzel[n]{(A_{1}*A_{2}} [/mm] und davon ausgehe, dass a die Seitenlänge des größeren Würfel ist, ergibt sich doch für die Formel folgendes:
[mm] A_{1}=a*a
[/mm]
[mm] A_{2}=b*b
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{(A_{1}*A_{2}}=a+b
[/mm]
Höhe h= Differenz der Seitenlängen a und b --> a-b
WEG 2
(Volumen großer Würfel) - (Volumen kleiner Würfel) = Volumen eines Pyramidenstumpfs
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Ohje, das sieht ja aus als wäre ich dumm :-(.
Das erste ist klar, es muss a*b heißen, dann ist die Differenz der beiden Seitenlängen die Hälfte.
Wenn ich WEG 2 rechne, bekomme ich natürlich das Volumen aller Pyramidenstümpfe. Der Rauminhalt eines dieser inhaltsgleichen Teilkörper wäre dann das ganze geteilt durch 6, weil es ja 6 PS gbt.
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> Ohje, das sieht ja aus als wäre ich dumm :-(.
Ich habe nur vermutet: schlecht ausgeschlafen 
> Das erste ist klar, es muss a*b heißen, dann ist die
> Differenz der beiden Seitenlängen die Hälfte.
>
> Wenn ich WEG 2 rechne, bekomme ich natürlich das Volumen
> aller Pyramidenstümpfe. Der Rauminhalt eines dieser
> inhaltsgleichen Teilkörper wäre dann das ganze geteilt
> durch 6, weil es ja 6 PS gibt.
Ja. Und was wolltest du jetzt noch fragen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 So 14.06.2009 | | Autor: | Lockenheld |
Ich wollte nur wissen, ob mein letzter Beitrag korrekt war. Nicht, dass ich wieder so einen Müll wie oben geschrieben habe.
Vielen Dank für die Antworten und die geduldige Hilfe!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
