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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Quadrat in n kleiner Quadrate
Quadrat in n kleiner Quadrate < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quadrat in n kleiner Quadrate: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:10 Sa 07.11.2009
Autor: mova

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge [/mm] 6 ein Quadrat in genau n kleinere Quadrate aufgeteilt werden kann.

Ich komm bei diesem Beweis leider nicht weiter...vllt kann mir hier jemand helfen!Wäre super wenn es möglichst zügig gehen könnte...


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Quadrat in n kleiner Quadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Sa 07.11.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

man kann ein Quadrat in n Quadrate zumindest dann unterteilen, wenn n eine Quadratzahl ist. Dann kann man mehrere Quadrate nochmal zusammenfassen/zergliedern. Nun überlege, welche Fälle man nun aufeinander zurückführen kann.

lg

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Sa 07.11.2009
Autor: mova

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $ [mm] n\ge [/mm] $ 6 ein Quadrat in genau n kleinere Quadrate aufgeteilt werden kann.  

Mit dieser Antwort komme ich irgendwie bei dieser Aufgabenstellung nicht weiter...vllt hat ja noch jemand einen präziseren Tipp/ eine präzisere  Antwort für mich mit der ich etwas weiter komme.

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Eigeninitiative?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Sa 07.11.2009
Autor: ChopSuey

Hallo,

dann zeig uns deinen Ansatz oder sag uns, was genau dich an einem Ansatz hindert.

Gruß
ChopSuey

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Sa 07.11.2009
Autor: mova

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $ [mm] n\ge [/mm] $ 6 ein Quadrat in genau n kleinere Quadrate aufgeteilt werden kann.

Der Ansatz den ich bekommen hatte lautete :
man kann ein Quadrat in n Quadrate zumindest dann unterteilen, wenn n eine Quadratzahl ist. Dann kann man mehrere Quadrate nochmal zusammenfassen/zergliedern. Nun überlege, welche Fälle man nun aufeinander zurückführen kann.

Hiermit komme ich allerdings nicht wirklich weiter...

lg mova

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Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Sa 07.11.2009
Autor: ChopSuey

Hallo,

das ist der Tipp, den dir Niladhoc freundlicherweise gab.

Hast du denn keinerlei Ideen zu dieser Aufgabe? Irgendwas?

Gruß
ChopSuey

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Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:15 Sa 07.11.2009
Autor: mova

Nein,leider habe ich gar keinen Ansatz und auch keine Idee zu dieser Aufgabe. Und mit dem genannten Ansatz/Idee komme ich auch nicht weiter leider.

lg mova

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:01 So 08.11.2009
Autor: abakus


> Nein,leider habe ich gar keinen Ansatz und auch keine Idee
> zu dieser Aufgabe. Und mit dem genannten Ansatz/Idee komme
> ich auch nicht weiter leider.
>  
> lg mova

Zeige durch konkrete Beispiele, dass Zerlegungen in 6, 7 bzw. 8 Quadrate möglich sind.
In jeder beliebigen Zerlegung kann man dann aus einem Teilquadrat 4 Teilquadrate machen und somit die Anzahl der Quadrate um 3 erhöhen.
Wenn 6 geht, geht also auch 9; wenn 7 geht, geht auch 10 usw.
Gruß Abakus


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Quadrat in n kleiner Quadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 So 08.11.2009
Autor: leduart

Hallo
1.müssen die kleineren Quadrate ganzzahlige Seiten haben?
wenn nicht ist es einfach,
2. darf man das Quadrat zerschnppeln, oder müssen die schön reinpassen?
Für das 2te hab ich bisher keine Lösung, denk dann aber drüber nach.
3. Woher stammt die Aufgabe? Wenn Schule, was macht ihr gerade.
Gruss leduart

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 So 08.11.2009
Autor: mova

zu 1. in der aufgabe steht nichts von ganzzahligen seiten...was wäre denn dabei deine idee...

zu 3. die aufgabe stammt aus der uni (Analysis)

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Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 So 08.11.2009
Autor: leduart

Hallo
so wie du die Aufgabe aufgeschrieben hast lässt sie viele Interpretationen zu:
a) [mm] N^2 [/mm] = Summe von 6 Quadratzahlen
b) ein geometrisches Quadrat unterteilen. wenn nicht ganzzahlig vorgegeben ist, ist das trivial, man nimmt eines, das man kann, etwa [mm] 6^2=4^2+5*2^2 [/mm] und streckt es zentrisch, auf die anderen Seitenlängen. aber das geht dann auch für n<6, kanns also nicht sein.
Also krieg raus, was die wollen

Hast du den exakten Text der Aufgabe?
Hattet ihr irgend was anderes über Summen von Quadratzahlen?
Gruss leduart

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 So 08.11.2009
Autor: mova

Das ist der exakte Text der Aufgabe...deswegen weiß ich leider nicht was ich euch dazu näheres sagen kann!
Wir haben bisher nichts ähnliches gemacht...leider!
Habt ihr so keine ideen zur Lösung meines Problems?

lg mova

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 So 08.11.2009
Autor: abakus


> Das ist der exakte Text der Aufgabe...deswegen weiß ich
> leider nicht was ich euch dazu näheres sagen kann!
>  Wir haben bisher nichts ähnliches gemacht...leider!
>  Habt ihr so keine ideen zur Lösung meines Problems?

Das Problem ist fast gelöst. Wenn du schon Fragen stellst, solltest du alle Antworten/Mitteilungen lesen, z.B. hier
Gruß Abakus

>  
> lg mova


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Quadrat in n kleiner Quadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 So 08.11.2009
Autor: xmattesx

ich hab das wie folgt gemacht,

zu erst ein bißchen rumprobiert, wie man ein quadrat für n=6, n=7 und n=8 in 6, 7 bzw. 8 quadrate unterteilen könnte. da gabs eine regelmäßigkeit, die mich zu folgender induktionsannahme kommen ließ:

n²=(n-2)²+2²*(n-1)

die induktion hat geklappt, also nehm ich mal an, dass es richtig ist. als anfang hab ich dann n=6 genommen. rest kriegst du hin denk ich.

Bezug
                                
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 So 08.11.2009
Autor: mova

ich denke das sollte ich hinbekommen...danke für deine antwort!

lg mova

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Quadrat in n kleiner Quadrate: Vollständige Induktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Di 08.11.2011
Autor: lucas91

Aufgabe
n²=(n-2)²+2²*(n-1)

hallo, ich bin neu hier im Forum und gerade auf den Beitrag zur Teilung eines Quadrates in n>5 gestoßen. Meine Frage wäre: wie kann man diese Induktionsannahme beweisen? Zunächst für n=6 n=7 u. n=8 ?? Nur leider komme ich auf keinen einzigen beweis...
Hoffentlich kann jemand weiterhelfen...
Danke schonmal

Bezug
                                        
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Quadrat in n kleiner Quadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Di 08.11.2011
Autor: fred97


> n²=(n-2)²+2²*(n-1)
>  hallo, ich bin neu hier im Forum und gerade auf den
> Beitrag zur Teilung eines Quadrates in n>5 gestoßen. Meine
> Frage wäre: wie kann man diese Induktionsannahme beweisen?
> Zunächst für n=6 n=7 u. n=8 ?? Nur leider komme ich auf
> keinen einzigen beweis...
>  Hoffentlich kann jemand weiterhelfen...
>  Danke schonmal


Multipliziere [mm] (n-2)^2+2^2*(n-1) [/mm] aus und Du wirst sehen, dass [mm] n^2 [/mm] rauskommt.

FRED

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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Di 08.11.2011
Autor: lucas91

Danke für die schnelle Antwort,
mein Problem liegt jedoch offengestanden beim grundlegenden Verständnis.
Die Aufgabenstellung besagt: Weise nach dass ein Quadrat in n>5 Quadrate zerlegt werden kann ohne Überlappung. Man soll vollständige Induktion benutzen. Wie gehe ich nun aber vor um zu zeigen dass die vorherige Formel stimmt. ? bzw ist diese überhaupt anwendbar?

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Di 08.11.2011
Autor: leduart

Hallo
Warum übezugt dich die antwort von fred nicht?
fang mit der 6 an, nimm ein 4mak 4 Quadrat weg wieviele 2 er musst du drumrum legen um das 6*6 auszufüllen?
Kannst dus dann mit 10  wenn du ein 8 Qu. wegnimmst?
so kannst du due formel geometrisch beschreiben, aber dazu solltest du es zeichnen.
vollst. Induktion ist hier schlecht, weil man jdas Ergebnis direkt und nicht durch Schritt von n nach n+1 kriegt.

Gruss leduart


Bezug
                                                                
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: geometrisch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Di 08.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> vollst. Induktion ist hier schlecht, weil man ja das
> Ergebnis direkt und nicht durch Schritt von n nach n+1
> kriegt.
>  
> Gruss leduart


Hallo leduart,

ich finde es nicht so daneben, hier vollständige Induktion
anzuwenden.
Verankerung durch je eine Figur für n=6, n=7 und n=8 .
(man kann das gegebene Quadrat stets zerlegen in ein
in einer seiner Ecken anliegendes Quadrat und einen
winkelförmigen "Saum" aus 3 oder 5 oder 7 zueinander
kongruenten Quadraten)
Induktionsschritt: Ist ein Quadrat in n Quadrate zerlegt,
so kann man ein beliebiges der Teilquadrate in 4 kleinere
Quadrate unterteilen. Dabei erhöht sich die Anzahl der
Teilquadrate von n auf n+3.
Vorteil: keine Rechnungen; eigentlich rein geometrischer
Beweis.

LG   Al-Chw.
  


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Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Di 08.11.2011
Autor: leduart

Hallo al
ich versteh deine Induktion nicht, ich sehe nur, dass wenn du ein [mm] n^2 [/mm] Quadrat in n kleinere zerlegen kannst du es auch in n+3 kleinere zerlegen kannst, wieso zeigt das, dass du ein [mm] (n+1)^2 [/mm] in n+1  Teilquadrate  zerlegen kannst?
Gruss leduart


Bezug
                                                                                
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Di 08.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo al
>  ich versteh deine Induktion nicht, ich sehe nur, dass wenn
> du ein [mm]n^2[/mm] Quadrat in n kleinere zerlegen kannst du es auch
> in n+3 kleinere zerlegen kannst, wieso zeigt das, dass du
> ein [mm](n+1)^2[/mm] in n+1  Teilquadrate  zerlegen kannst?
>  Gruss leduart


Hallo leduart,

ja, da sind wir nochmals beim Problem der (un-)klaren
Aufgabenstellung. Es ging eben wohl gar nicht um eine
zahlentheoretische Frage über "Quadratzahlen", sondern
nur um eine Zerlegung eines (geometrischen) Quadrats.
In der Originalaufgabe wurde darauf aber anscheinend
nicht klar hingewiesen.

Man kann nun zwar z.B. ein [mm] 6\times6 [/mm] - Quadrat in 6 Teil-
quadrate mit ebenfalls ganzzahligen Seiten zerlegen:

     $\ [mm] 6^2\ [/mm] =\ [mm] 1*4^2+5*2^2$ [/mm]

Schon für ein [mm] 7\times7 [/mm] - Quadrat gibt es aber (soweit ich
sehe) keine Zerlegung in 7 Teilquadrate mit ganzzahligen
Seiten.


LG   Al


Nachtrag:

rechnerisch geht Letzteres zwar, nämlich  

   $\ [mm] 7^2=1*5^2+6*2^2$ [/mm]

aber daraus lässt sich keine geometrische Lösung
machen, bei der man kein Quadrat zerschnippeln
muss.

Die allgemeine Frage nach der Zerlegung von Quadratzahlen
in Summen von solchen ist im Übrigen (ob mit oder ohne
geometrische Zusatzbedingung) wohl ein paar Nummern
zu schwierig für einfache Übungen.

Bezug
                                                                
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Do 10.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  Warum übezugt dich die antwort von fred nicht?
>  fang mit der 6 an, nimm ein 4mak 4 Quadrat weg wieviele 2
> er musst du drumrum legen um das 6*6 auszufüllen?
>  Kannst dus dann mit 10  wenn du ein 8 Qu. wegnimmst?
>  so kannst du due formel geometrisch beschreiben, aber dazu
> solltest du es zeichnen.
>  vollst. Induktion ist hier schlecht, weil man jdas
> Ergebnis direkt und nicht durch Schritt von n nach n+1
> kriegt.
>  
> Gruss leduart



Hallo leduart,

erst jetzt habe ich bemerkt, dass die Aufgabe

"Zerlege ein [mm] n\times{n} [/mm] - Quadrat geometrisch in genau
n Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen"

ja wirklich für alle geraden n (mit [mm] n\ge4) [/mm] durch die
Zerlegung

  $\ [mm] n^2\ [/mm] =\ [mm] \red{1}*(n-2)^2+\red{(n-1)}*2^2\qquad mit\qquad\red{1+(n-1)=n}$ [/mm]

lösbar ist. In der Originalaufgabe war ja aber nur
von der Anzahl der Teilquadrate und nicht von der
Seitenlänge des gegebenen Quadrates die Rede.
Möchte man nun also etwa ein [mm] 7\times{7} [/mm] - Quadrat in
genau 7 Teilquadrate zerlegen, so ginge dies zwar
rechnerisch in der Form  [mm] 7^2=1*5^2+6*2^2 [/mm] .
Will man aus den 7 Teilquadraten das  [mm] 7\times{7} [/mm] - Quadrat
geometrisch zusammensetzen, so geht dies nicht,
außer man zerschneidet eines der kleinen Quadrate.
Man kann aber das [mm] 7\times{7} [/mm] - Quadrat durchaus in 7
Teilquadrate zerlegen, wenn man auf die Ganzzahlig-
keit von deren Seitenlängen verzichtet, nämlich:
[mm] 7^2=3*3.5^2+4*1.75^2 [/mm]

LG    Al  


Bezug
        
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Aufgabe neu formuliert
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:16 Di 08.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

nachdem diese Frage zwei Jahre lang geruht hat, hier nun
noch eine andere Formulierung:

Aufgabe
Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl n mit [mm] n\ge6 [/mm] eine
natürliche Zahl N und ein n-Tupel [mm] [/mm] von
natürlichen Zahlen gibt mit der Eigenschaft, dass man die
n Quadrate mit den Seitenlängen [mm] a_1, a_2, [/mm] .... , [mm] a_n [/mm] in der
Ebene lückenlos zu einem Quadrat der Seitenlänge N zusam-
menfügen kann.



Eine Zusatzfrage (möglicherweise schwierig) wäre die nach dem
jeweils kleinstmöglichen Wert von N für ein vorgegebenes n .

LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Quadrat in n kleiner Quadrate: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 13.11.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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