Quadr. Ungleichung mit 2 Unbek < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
(1+x)hoch n [mm] \ge n^{2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] * 1/4 |
Ich brauche einen Tipp, bitte. Ich muss ja irgendwie eine Variable wegbekommen, oder? Egal wie ich es versucht habe, ich komme nicht weiter.
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Für [mm] n\ge2 [/mm] und x [mm] \ge0 [/mm] ist nach dem Binomischen Lehrsatz [mm] (1+x)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{k}\ge\vektor{n \\ 2}x^{2}, [/mm] da alle weggelassenen Summanden nichtnegativ sind. Außerdem gilt :
[mm] \vektor{n \\ 2}\ge\bruch{n{2}}{4}, [/mm] denn
[mm] \vektor{n \\ 2}=\bruch{n(n-1)}{2}\ge\bruch{n}{2}*\bruch{n}{2}, [/mm] da
[mm] n-1\ge\bruch{n}{2}. [/mm] Also folgt
[mm] (1+x)^{n}\ge\bruch{n^{2}}{4}x^{2}.
[/mm]
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