Quadr. Gleichung mit e & ln < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Parameter a und b die reellen Lösungen der Gleichungen:
1) [mm] ae^{-2x}+be^{-x}=0
[/mm]
2) [mm] (ln(bx))^{2}+lnx-(lnb)^{2}=0 [/mm] (b>0) |
Hallo,
ich hab ein paar Fragen zu den oben genannten Beispielen:
Zu 1)
Anfangs habe ich mit [mm] e^{3x} [/mm] multipiliziert.
Das ergab [mm] be^{2x}+ae^{x}=0 [/mm]
Ich hab mit Substitution weitergearbeitet, dh [mm] e^{x}=t [/mm]
Dies ergab dann [mm] bt^{2}+at+0=0 [/mm] --> [mm] t^{2}+pt+q=0 [/mm] für p=a/b und q=0/b=0
Hab die quadratische Formel aufgelöst und ich bekam heraus:
t1 = -a/2b + a/2b = 0
t2 = -a/2b - a/2b = - a/b
Hab dann wieder umgeformt auf x1 = 0 und x2 = ln(-a/b)
Stimmt das eigentlich?
Zu 2) Hier hab ich nach dem gleichen Schema gerechnet. Nur hab ich anfangs [mm] (ln(bx))^{2} [/mm] in (lnb + [mm] lnx)^{2} [/mm] umgeformt, diese binomische Formel aufgelöst und so weitergerechnet, denn dadurch kürzt sich das [mm] (lnb)^{2} [/mm] doch weg.
Mein Ergebnis lautet da:
t1 = -lnb + lnb = 0
t2 = -lnb - lnb = -2lnb
x1 = 0
x2 = ln(-2lnb)
Bin mir bei diesem Ergebnis auch nicht sicher, da der Logarithmus doch immer positiv sein muss, oder?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß,
Brauni
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Di 14.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Braunstein
> Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Parameter a und b die
> reellen Lösungen der Gleichungen:
>
> 1) [mm]ae^{-2x}+be^{-x}=0[/mm]
> 2) [mm](ln(bx))^{2}+lnx-(lnb)^{2}=0[/mm] (b>0)
> Hallo,
>
> ich hab ein paar Fragen zu den oben genannten Beispielen:
>
> Zu 1)
> Anfangs habe ich mit [mm]e^{3x}[/mm] multipiliziert.
> Das ergab [mm]be^{2x}+ae^{x}=0[/mm]
> Ich hab mit Substitution weitergearbeitet, dh [mm]e^{x}=t[/mm]
> Dies ergab dann [mm]bt^{2}+at+0=0[/mm] --> [mm]t^{2}+pt+q=0[/mm] für p=a/b
> und q=0/b=0
> Hab die quadratische Formel aufgelöst und ich bekam
> heraus:
>
> t1 = -a/2b + a/2b = 0
> t2 = -a/2b - a/2b = - a/b
Bis hier richtig! aber [mm] e^x=0 [/mm] gibt nicht x=0 [mm] e^0=1 [/mm] sondern: es gibt kein x!
Ich find gut, wie du das gelöst hast! Aber es gibt ne Schnellere Lösung:
da [mm] e^{-2x} \ne [/mm] 0 kannst du dadurch dividieren und hast direkt :
[mm] a+b*e^x=0 [/mm] ; [mm] e^x=-a/b
[/mm]
> Hab dann wieder umgeformt auf x1 = 0 und x2 = ln(-a/b)
darau folgt jetzt Lösung nur für -a/b>0 also müssen a und b verschiedene Vorzeichen haben!
> Stimmt das eigentlich?
>
>
> Zu 2) Hier hab ich nach dem gleichen Schema gerechnet. Nur
> hab ich anfangs [mm](ln(bx))^{2}[/mm] in (lnb + [mm]lnx)^{2}[/mm] umgeformt,
> diese binomische Formel aufgelöst und so weitergerechnet,
> denn dadurch kürzt sich das [mm](lnb)^{2}[/mm] doch weg.
soweit richtig
Dann bleibt bei mir:
[mm] (lnx)^2 [/mm] +2lnb*lnx +lnx=0
lnx(lnx+2lnb+1)=0
daraus 1. lnx=0 damit x=1
2. [mm] lnx=-2lnb-1=-2lnb-lne=ln(b^{-2}*e^{-1}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{b^2*e}
[/mm]
> Mein Ergebnis lautet da:
>
> t1 = -lnb + lnb = 0
> t2 = -lnb - lnb = -2lnb
>
> x1 = 0
> x2 = ln(-2lnb)
hier warst du zu leichtsinnig! t=lnx das muust du unbedingt hinschreiben !!
also hättest du lnx=0 x=1 wie ich
und [mm] lnx=-2lnb=lnb^{-2} [/mm] x= [mm] b^{-2}
[/mm]
Also eigentlich ist dein Vorgehen gut, aber sieh dir deine quadratische Gl. noch mal an und meine (aber nachrechnen, auch ich mach Leichtsinnsfehler!)
Und dein Ende ist purer leichtsinn, der meistens passiert, wenn man denkt, man ist fast fertig.
> Bin mir bei diesem Ergebnis auch nicht sicher, da der
> Logarithmus doch immer positiv sein muss, oder?
Log von Zahlen <1 ist negativ ln1/e=-1!
auch hier gabs ne etwas schnellere Lösung mit :
[mm] (lnbx)^2-lnb^2)=(lnbx+lnb)*(lnbx-lnb)=ln(b^2x)*lnx [/mm] danach wieder lnx ausklammern.
Und das hier gehört eher noch zur Schulmathe, sicher nicht zur Funktionalanalysis (5-7. Semester)
Gruss leduart
> Brauni
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