QR Zerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] und A [mm] \in [/mm] GL(n, [mm] \IK). [/mm] Dann hat A eine Zerlegung A = QR, wobei Q eine n [mm] \times [/mm] n Matrix ist,d eren Spalten ortonormal sind und R [mm] \in M(n,\IK) [/mm] eine obere Dreiecksmatrix.
Berechnen Sie die QR-Zerlegung für A = [mm] \pmat{1&1&2 \\ 0 &1&1 \\ 0&1&-1}
[/mm]
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Guten Abend. Ich verstehe die nachfolgende Lösung nicht. Ihr sollt annehmen, dass alles richtig getippt und gerechnet ist!
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0}, a_2 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1}, a_3 [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\-1}$
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] v_1' [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0}, [/mm] $
[mm] $v_2' [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] - [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\1}$
[/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{0\\1\\1}$
[/mm]
[mm] $v_3' [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\-1}- v_1 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\-1}$
[/mm]
[mm] $v_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{0\\1\\-1}$
[/mm]
[mm] |$|v_1'|| [/mm] = 1$
[mm] $||v_2'|| [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $||v_3'|| [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] Q = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\0&\frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}}}$
[/mm]
Q ist mir vollkommen klar. Aber R jetzt nicht
$R = [mm] \pmat{1 & 1 & 2 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2}}$
[/mm]
Steckt das hier irgendwo in den Rechnungen schon mit drin oder muss ich
Q^-1 A = R berechnen? Da käme allerdings etwas anderes heraus, ich habs nämlich schon ausprobiert. Wie komme ich auf R?
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Hallo,
> Sei [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] und A [mm]\in[/mm] GL(n, [mm]\IK).[/mm] Dann hat A
> eine Zerlegung A = QR, wobei Q eine n [mm]\times[/mm] n Matrix ist,d
> eren Spalten ortonormal sind und R [mm]\in M(n,\IK)[/mm] eine obere
> Dreiecksmatrix.
> Berechnen Sie die QR-Zerlegung für A = [mm]\pmat{1&1&2 \\ 0 &1&1 \\ 0&1&-1}[/mm]
>
> Guten Abend. Ich verstehe die nachfolgende Lösung nicht.
> Ihr sollt annehmen, dass alles richtig getippt und
> gerechnet ist!
>
> [mm]a_1 = \vektor{1\\0\\0}, a_2 = \vektor{1\\1\\1}, a_3 = \vektor{2\\1\\-1}[/mm]
>
> [mm]v_1 = v_1' = \vektor{1\\0\\0},[/mm]
>
> [mm]v_2' = \vektor{1\\1\\1} - v_1 = \vektor{0\\1\\1}[/mm]
>
> [mm]v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{0\\1\\1}[/mm]
>
> [mm]v_3' = \vektor{2\\1\\-1}- v_1 - v_2 = \vektor{0\\1\\-1}[/mm]
>
> [mm]v_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{0\\1\\-1}[/mm]
>
> |[mm]|v_1'|| = 1[/mm]
>
> [mm]||v_2'|| = \sqrt{2}[/mm]
>
> [mm]||v_3'|| = \sqrt{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Q = \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\0&\frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Q ist mir vollkommen klar. Aber R jetzt nicht
>
> [mm]R = \pmat{1 & 1 & 2 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2}}[/mm]
>
> Steckt das hier irgendwo in den Rechnungen schon mit drin
> oder muss ich
>
> Q^-1 A = R berechnen?
ja !!
>Da käme allerdings etwas anderes
> heraus, ich habs nämlich schon ausprobiert.
Dann hast du dich "verprobiert"  sprich: verrechnet.
>Wie komme ich auf R?
Rechne nochmal nach. Es ist [mm] Q^{-1}=Q
[/mm]
Und [mm] Q^{-1}\cdot{}A [/mm] ergibt genau das R, das du angegeben hast
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Wehm |
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> > Q^-1 A = R berechnen?
>
> ja !!
>
> >Da käme allerdings etwas anderes
> > heraus, ich habs nämlich schon ausprobiert.
>
>
> Dann hast du dich "verprobiert" sprich: verrechnet.
>
>
> >Wie komme ich auf R?
>
>
> Rechne nochmal nach. Es ist [mm]Q^{-1}=Q[/mm]
>
> Und [mm]Q^{-1}\cdot{}A[/mm] ergibt genau das R, das du angegeben
> hast
Ich habe wirklich immer einen Vorzeichenfehler gemacht danke für deine Hilfe.
Gruß,
Wehm
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