QR-Zerlegung nach Gram-Schmidt < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hiho,
ich hoffe einer von Euch kennt sich mit der QR-Zerlegung aus, hab da nämlich so einige Verständisprobleme.
Zur Problemstellung:
Jede Matrix [mm] $A\in\mathbb{R}^{m,n}$ [/mm] lässt sich zerlegen als $A=QR$ wobei [mm] $Q\in\mathbb{R}^{m,m}$ [/mm] orthogonal, d.h. [mm] $Q^T\cdot [/mm] Q=I$ und [mm] $R\in\mathbb{R}^{m,n}$ [/mm] obere Dreiecksmatrix. |
Also nun zu meinem Problem an der ganzen Sache:
Man bestimmt mit Hilfe von Gram-Schmidt die Matrix $Q$. So wie ich verstanden habe erhält man die Spalten von $Q$ indem man die Spalten von $A$ orthonormalisiert. Was mache ich aber bei [mm] $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] ? Wie bekomme ich hier die geforderte dritte Spalte von $Q$?
Ich lerne grad für eine Numerikklausur und mein Schädel qualmt. Wär qool, wenn mir das einer erklärent könnte.
greez
[mm] $1+i^2$
[/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) OnlineMathe.de
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Meine Ergebnisse sind bisher folgende für das genannte Beispiel:
[mm] $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Mit dem Algorithmus nach Gram-Schmidt erhalte ich für [mm] $Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Ist das bereits meine Matrix $Q$, auch wenn sie nicht Quadratisch ist?
Für $R$ bekäme ich dann [mm] $R=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. [/mm] Diese beiden Matrizen kann ich aber nicht miteinander Multiplizieren, da $Q$ nicht quadratisch.
Gibt es demnach nur für quadratische Matrizen eine $QR$-Zerlegung?
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> Meine Ergebnisse sind bisher folgende für das genannte
> Beispiel:
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> [mm]A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}[/mm]
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> Mit dem Algorithmus nach Gram-Schmidt erhalte ich für
> [mm]Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das bereits meine Matrix [mm]Q[/mm], auch wenn sie nicht
> Quadratisch ist?
> Für [mm]R[/mm] bekäme ich dann [mm]R=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm].
> Diese beiden Matrizen kann ich aber nicht miteinander
> Multiplizieren, da [mm]Q[/mm] nicht quadratisch.
>
> Gibt es demnach nur für quadratische Matrizen eine
> [mm]QR[/mm]-Zerlegung?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast es doch fast richtig!
Es ist [mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}.
[/mm]
R muß eine quadratische sein, denn sie ist ja die Transformationsmatrix zwischen den beiden Basen.
Gruß v. Angela
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Danke, wenn $R$ eine quadratische Matrix ist, dann klappts. 
In unserem Skript stand die von mir gepostete Definition einer QR-Zerlegung. Da musste $Q$ eine quadratische Matrix Sein und $R$ war von der Form [mm] $R=\begin{pmatrix} \overline{R} \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] wobei [mm] $\overline{R}$ [/mm] eine quadratische obere Dreiecksmatrix ist. wann gilt was?
Ich könnte jetzt zwar die Rechnung durchführen, verwirrt bin ich aber trotzdem.
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> Danke, wenn [mm]R[/mm] eine quadratische Matrix ist, dann klappts.
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> In unserem Skript stand die von mir gepostete Definition
> einer QR-Zerlegung. Da musste [mm]Q[/mm] eine quadratische Matrix
> Sein und [mm]R[/mm] war von der Form [mm]R=\begin{pmatrix} \overline{R} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> wobei [mm]\overline{R}[/mm] eine quadratische obere Dreiecksmatrix
> ist. wann gilt was?
>
> Ich könnte jetzt zwar die Rechnung durchführen, verwirrt
> bin ich aber trotzdem.
Hallo,
ich habe eben nochmal nachgeschaut:
das, was ich gesagt habe, ist die reduzierte QR-Zerlegung.
Um die vollständige Zerlegung zu bekommen,
mußt Du nun der ersten Matrix noch eine Spalte anhängen, so daß Du eine orthogonale Matrix erhältst (also Spalten der Länge 1, die paarweise orthogonal sind)
und die zweite Matrix bekommt die Nullzeile angehängt, so, wie Du es zuvor hattest.
Deinen fehlenden Vektor für Q kannst Du bekommen, indem Du $ [mm] A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \vektor{1\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] durch irgendeinen passenden Vektor zu einer Basis des [mm] \IR³ [/mm] ergänzt und mit Gram-Schmidt auch noch den dritten ONB-Vektor berechnest. (oder Du machst das mit dem Kreuzprodukt, aber ich denke, Du sollst das Gramschmitden üben.)
Gruß v. Angela
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Spitze, das war das letzte Teil zum Puzzel.
Manchmal sieht man den Baum vor lauter Wäldern nicht  .
Danke nochmal
[mm] $1+i^2$
[/mm]
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